(Professor Docente I - Matemática - SEEDUC-RJ - 2015 - Banca CEPERJ) Em um triângulo retângulo, a razão entre as medidas dos catetos é (2+√3).  O cosseno da diferença dos ângulos agudos desse triângulo é igual a:

a) 2/5
b) 1/2
c) (√3)/2
d) 2/3
e) (√2)/2

Solução: questão do concurso de 2015 para professor de matemática da Secretaria de Educação do Rio de Janeiro. Banca organizadora: CEPERJ.

Sejam "a" e "b" os catetos e "c" a hipotenusa, temos:

b/a = 2+√3
b = a (2+√3)

Do teorema de Pitágoras, temos:

a² + b²  = c²
a² + a² (2+√3)² = c²
a² + a² (4 + 4√3 + 3) = c²
a² ( 1 + 7 + 4√3) = c²
a² (8+4√3) = c²
a²(4(2+√3)) = c²
c = 2a√(2+√3)

Sendo assim, podemos desenhar nosso triângulo retângulo com ângulos agudos α  e β e também com as medidas a, b e c, todas em função apenas de a.  



O objetivo da questão é encontrar cos (α - β).  Podemos calculá-lo por meio da seguinte relação:

cos (α - β) = cosα . cosβ + senα . senβ
cos (α - β) = (a/c) . (b/c) + (b/c).(a/c)
cos (α - β) = 2. (a/c) . (b/c)
cos (α - β) = 2. (ab/c²) 
Agora vamos entrar com os valores de "b" e "c" em função de "a".
cos (α - β) = 2. [  a.a(2+√3) / 4a²(2+√3) ]
cos (α - β) = 2. [  1 / 4 ]
cos (α - β) = 1/2

Alternativa correta é a letra b).

Aproveite e continue praticando com uma lista de exercícios resolvidos sobre relações trigonométricas no triângulo retângulo.

Um forte abraço e bons estudos.