(Professor Docente I - Matemática - SEEDUC-RJ - 2015 - Banca CEPERJ) A pirâmide quadrangular regular abaixo possui todas as arestas iguais e cada uma delas mede  √6 m.

Se ligarmos o ponto O, que é centro do quadrado ABCD com todos os pontos do triângulo VBC, formamos uma nova pirâmide OVBC. A medida, em metros, da distância do ponto O ao plano VBC é igual a: 

A) 0,6 B) 0,8 C) 1,0 D) 1,5 E) 2,0

Solução: questão do concurso para professor de matemática da Secretaria de Educação do Rio de Janeiro.  Banca organizadora CEPERJ, 2015. Vamos ilustrar nosso problema:


O objetivo da questão é encontrar a distância (x) entre o ponto O e o plano formado pelos pontos VBC conforme ilustrado na figura.  Repare que há uma semelhança entre os triângulos VOH e OO'H.  

OH = √6/2
VH é a altura do triângulo equilátero de lado  √6, portanto vale (lado.√3) /2
VH = (√6.√3)/2
VH = (3√2) / 2
Podemos obter VO usando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo VOH
VO²  + OH ² = VH²
VO² = [(3√2)/2]² - [√6/2]²
VO² = (9.2)/4 - 6/4
VO² = 18/4 - 6/4
VO² = 12/4
VO² = 3
VO = √3

Com estas medidas, vamos esboçar os triângulos semelhantes:


Sendo VO / OO' = VH/OH
√3 / x = [(3√2) / 2]/[√6/2]
√3  = [(3√2) / 2] . [2/√6] . x
√3  = [(3√2)/√6] . x
x = (√3 . √6) / (3√2)
x = 1 m

Alternativa correta é a letra c).

Aproveite e confira uma lista de exercícios de geometria espacial (volume de sólidos geométricos).

Um forte abraço e bons estudos.