(UERJ 2021) A figura a seguir representa uma circunferência de centro O e raio 1. Considere AC, BD e PQ diâmetros, com AC e BD perpendiculares. Observe-se ainda, que o ponto P pertence ao arco BC e o ponto R, ao raio OD; o segmento QR é paralelo a AC; e α é a medida do ângulo CÔP.

Sabendo que sen 2α = 2 senα . cosα, a área do triângulo PQR é igual a: 

(A) sen 2α
            2

(B) cos 2α
            2

(C) sen 2α 

(D) cos 2α

Solução: questão muito interessante sobre áreas de figuras planas, onde precisaremos utilizar conhecimentos ligados a trigonometria, entendimento do ciclo trigonométrico e relações trigonométricas no triângulo retângulo.  

O objetivo da questão é encontrar a área do triângulo PQR.  Vamos marcar alguns pontos estratégicos na figura e traçar nossa estratégia de resolução.



Repare que o triângulo QRO é retângulo em R, e portanto, das relações trigonométricas no triângulo retângulo, podemos encontrar x em função de α.

cos α = cateto adjacente / hipotenusa
cos α = x/1
x = cos α

Repare também que podemos calcular a área do triângulo PQR usando a fórmula:

Área PQR = 1/2 . sen α . QP . QR
Área PQR = 1/2 . sen α . 2 . cos α
Área PQR =  sen α .  cos α

Do enunciado, temos que sen 2α = 2 senα . cosα

sen 2α = 2 . Área PQR
Área PQR = (sen 2α)/2

Alternativa correta é a letra a).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da UERJ.

Um forte abraço e bons estudos.