(Banco do Brasil - 2018 - Escriturário - Banca: Cesgranrio) Uma amostra aleatória de tamanho 5 é retirada de uma população e observa-se que seus valores, quando postos em ordem crescente, obedecem a uma Progressão Aritmética. 

Se a variância amostral não viciada vale 40, qual é o valor da razão da Progressão Aritmética? 

(A) 3 (B) 5√2 (C) 4 (D) 2√5 (E) 1


Solução: nesta questão muito interessante de Estatística do Concurso de 2018 do Banco do Brasil, cargo: Escriturário, Banca examinadora: Cesganrio, vamos organizar nossa amostra em ordem crescente:

{ a; a + r; a + 2r; a + 3r; a + 4r }   Formando uma progressão aritmética.

No cálculo da média dessa amostra, visualmente, podemos observar que encontraremos o termo do meio dessa PA ( a + 2r) , mesmo assim vamos deixar os cálculos efetuados.

M = (a + a + r +  a + 2r +  a + 3r + a + 4r) / 5
M = ( 5a + 10r ) /5
M = 5 ( a + 2r) / 5
M = a + 2r

Do enunciado:  "variância amostral não viciada vale 40".

Utilizaremos a fórmula:

S² = ( ∑ (ai - M)² ) / ( n-1)   **  com i variando de 1 até 5   e  n = 5.

40 = ( ∑ (ai - M)² )  / ( 5-1) 
40 = ( ∑ (ai - M)² )  / 4
160 = ( ∑ (ai - M)² ) 

Agora, vamos desenvolver o somatório, que é o cálculo mais trabalhoso.

160 =  (a1 - M)² + (a2 - M)² + (a3 - M)² + (a4 - M)² + (a5 - M)²   
160 =  (a - a - 2r)² + (a + r - a - 2r)² + (a + 2r - a - 2r)² + (a + 3r - a - 2r)² + (a + 4r - a - 2r)²   
160 =  (- 2r)² + (-r)² + (0)² + (r)² + (2r)²     
160 =  4r² + r² + r² + 4r²
160 =  10 r²
r² = 16
r = 4
 
Alternativa correta é a letra c).

Caso queira se aprofundar mais nesse tema, recomendo um link para um artigo muito interessante:

"Why Sample Variance is Divided by n-1"


Acessado em 12/08/2021.

Aproveite e continue praticando com uma Lista de Exercícios de Estatística Básica.

Um forte abraço e bons estudos.