(EEAR CFS 2/2021) Considere o complexo z = (1+i)/(1-i). O valor de z^1983 é:

(EEAR CFS 2/2021) Considere o complexo z = (1+i)/(1-i). O valor de z¹⁹⁸³ é: 

a) -1
b) 0
c) i
d) -i

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Solução: questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 2/2021. Prova aplicada no dia 22/11/2020.  Vamos resolvê-la passo a passo.

Para efetuar a divisão entre dois números complexos, repetimos a fração e multiplicamos tanto o numerador quanto o denominador pelo conjugado do denominador.  O denominador é igual a (1-i) e seu conjugado vale (1+i).

 z = (1+i) x (1+i)

       (1-i)  x (1+i)

z = 1² + 2i + i²

        1² - i²

z = 1 + 2i -1

        1 - (-1)

z = 2i

       2

z = i

O objetivo da questão é calcular z¹⁹⁸³ , ou seja, i¹⁹⁸³ .

Perceba que: i0 = 1 i¹ = i i² = -1 i³ = i².i¹ = -1.i = -i i4  = i² . i² = -1 . -1 = 1 Se continuarmos calculando i5, i6 e assim sucessivamente, vamos visualizar que as potências de base i se repetem de 4 em 4.  Além disso, podemos perceber que as potências de base i cujo expoente é um múltiplo de 4 valem exatamente 1.  Por exemplo,  i4 = 1 i8 = 1 i12 = 1  e assim sucessivamente.

Portanto, vamos dividir 1983 por 4. Encontraremos quociente igual a 495 e resto igual 3.

1983 = 495 x 4 + 3

 i¹⁹⁸³  =  i⁴  .  i⁴  .  i⁴  .  .... .   i⁴  .  i³ 

                           495 vezes

i¹⁹⁸³  =  1  .  1  .  1 .  .... .  1  .  i³ 

                        495 vezes

i¹⁹⁸³  = i³ = i² . i = -1 . i = -i

 
Alternativa correta é a letra d).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EEAR.

Um forte abraço e bons estudos.