(EEAR CFS 2/2021) Considere o complexo z = (1+i)/(1-i). O valor de z^1983 é:
(EEAR CFS 2/2021) Considere o complexo z = (1+i)/(1-i). O valor de z1983 é:
a) -1
b) 0
c) i
d) -i
Solução: questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 2/2021. Prova aplicada no dia 22/11/2020. Vamos resolvê-la passo a passo.
Para efetuar a divisão entre dois números complexos, repetimos a fração e multiplicamos tanto o numerador quanto o denominador pelo conjugado do denominador. O denominador é igual a (1-i) e seu conjugado vale (1+i).
z = (1+i) x (1+i)
(1-i) x (1+i)
z = 1² + 2i + i²
1² - i²
z = 1 + 2i -1
1 - (-1)
z = 2i
2
z = i
O objetivo da questão é calcular z1983 , ou seja, i1983 .
Perceba que: i0 = 1 i¹ = i i² = -1 i³ = i².i¹ = -1.i = -i i4 = i² . i² = -1 . -1 = 1 Se continuarmos calculando i5, i6 e assim sucessivamente, vamos visualizar que as potências de base i se repetem de 4 em 4. Além disso, podemos perceber que as potências de base i cujo expoente é um múltiplo de 4 valem exatamente 1. Por exemplo, i4 = 1 i8 = 1 i12 = 1 e assim sucessivamente. |
Portanto, vamos dividir 1983 por 4. Encontraremos quociente igual a 495 e resto igual 3.
1983 = 495 x 4 + 3
i1983 = i4 . i4 . i4 . .... . i4 . i3
495 vezes
i1983 = 1 . 1 . 1 . .... . 1 . i3
495 vezes
i1983 = i3 = i² . i = -1 . i = -i
Alternativa correta é a letra d).
Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EEAR.
Um forte abraço e bons estudos.