(EEAR CFS 2/2021) Dado o complexo z = (cos 45° + isen45°), determine 1/z10: 

a) i
b) -i
c) 1
d) -1

Solução: questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 2/2021. Prova aplicada no dia 22/11/2020.

Nesta questão trabalharemos com a forma trigonométrica do número complexo e utilizaremos a fórmula de Moivre para calcular z10.

>> Forma trigonométrica ou polar do número complexo

z = |z| (cosθ + i senθ)

Como z = (cos 45° + isen45°)
Então, |z| = 1 e  θ = 45°

>> Fórmula de Moivre para potenciação do número complexo.

zn  = |z|n (cos nθ + i sen nθ)

z10  = 110 (cos 10 . 45° + i sen 10.45°)
z10  = cos 450° + i sen 450°

Dividindo 450° por 360° encontraremos quociente igual a 1 e resto igual a 90°, ou seja:

450° = 1 x 360° + 90°

z10  = cos 90° + i sen 90°
z10  = 0 + i . 1
z10  = i

Finalmente, nosso objetivo é calcular:  1/z10

 1   =  1 
z10      i
 
Para resolver essa divisão que envolve número complexos, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador.  O conjugado de (0+i) é igual a (0-i) = -i.

 1  x  -i   =  -i   =   -i    =  -i  = -i
 i   x  -i       -i²      -(-1)      1
 
Alternativa correta é a letra b).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EEAR.

Um forte abraço e bons estudos.