(EsPCEx 2021) Considere i a unidade imaginária. A soma infinita 5i – 5/2 – 5i/4 + 5/8 + 5i/16 – 5/32 – 5i/64 +…, onde o n-ésimo termo é dado por 5in/2n−1 (n=1,2,3…), resulta no número complexo cujas partes real e imaginária são, respectivamente, iguais a 

[A] 2 e 4.
[B] 2 e – 4.
[C] – 4 e 2.
[D] 4 e – 2.
[E] – 2 e 4.

Solução: questão de matemática da EsPCEx (Concurso de Admissão à Escola Preparatória de Cadetes do Exército – 2021). Prova aplicada no dia 26/09/2021.

Perceba que estamos diante de uma PG infinita, cuja razão (q) da PG é um número complexo.  Podemos calcular a soma (S) dos termos de uma PG infinita por meio da fórmula:

S = a1 / (1-q)

Podemos encontrar a razão q desta PG dividindo a2 por a1.

q = a2/a1 = (-5/2) / 5i
q = -1/2i   (atente para o fato de que -1 = i²)
q = i² / 2i
q = i/2

Aplicando este valor em S, temos:

S = 5i / (1 - i/2)
S = 5i / (2/2 - i/2)
S = 5i / [ (2-i)/2 ]
S = 5i . 2/(2-i)
S = 10i / (2-i)

Lembre-se, fazemos a divisão entre dois números complexos da seguinte forma:


O conjugado de (2-i) é o (2+i).

S = 10i . (2+i) / (2-i) . (2+i)
S = ( 20i + 10 i² ) / ( 4 - i² )
S = ( 20i + 10 . (-1) ) / ( 4 - (-1) )
S = ( 20i -10 ) / ( 4 +1 )
S = ( 20i -10 ) / 5
S = 4i - 2  

As partes real e imaginária são, respectivamente, iguais a -2 e 4. Alternativa correta é a letra e).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EsPCEx.

Um forte abraço e bons estudos.