(EsPCEx 2021) O Cap R. Gomes é um autêntico “canga”, isto é, um militar que não apenas coopera com os membros de sua equipe, mas estimula superiores, pares e subordinados ao bom cumprimento das missões. Em particular, ele incentiva um grupo de militares a melhorar o desempenho na corrida. Para tal, criou um programa de treinamento em que é preciso correr exatamente 576 Km no total, começando com 26 Km na primeira semana e, a partir da segunda, acrescentando exatos 4 Km a cada semana, ou seja, cada integrante do grupo deve correr exatamente 26 Km na 1ª semana, 30 Km na 2ª semana, 34 Km na 3ª semana e assim sucessivamente. Após quantas semanas a meta de 576 Km será atingida? 

[A] 10 [B] 11 [C] 12 [D] 13 [E] 14

Solução: questão de matemática da EsPCEx (Concurso de Admissão à Escola Preparatória de Cadetes do Exército – 2021). Prova aplicada no dia 26/09/2021.

Para resolver essa questão sobre progressão aritmética, vamos usar as fórmulas de progressão aritmética.

Fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA

Sn = n .  (a1 + an)/2
576 = n . (26 + an)/2
1152 = 26 n + n . an  (Equação I)

Fórmula do n-ésimo termo da PA

an = a1 + (n-1).r
an = 26 + (n-1)4
an = 26 + 4n - 4
an = 22 + 4n  (Equação II)

Vamos aplicar a Equação II na I.

1152 = 26 n + n . (22 + 4n)
1152 = 26 n + 22 n + 4 n²
4n² + 48 n - 1152 = 0

Podemos dividir todos os termos por 4 para simplificar essa equação:

n² + 12 n -288 = 0

Para encontrar o valor de n, que representa a quantidade de semanas que são necessárias para atingir a meta de 576 Km no total, temos que resolver essa equação do segundo grau.  Como estamos diante de uma prova com alternativas de resposta, pode ser mais ágil analisar as opções de resposta e verificar se podemos aplicar uma delas diretamente ao valor de n e zerar a equação.  Repare na opção [C] 12.  Há um forte indício de que n=12 seja uma das raízes dessa equação do segundo grau.  Vamos testar:

12² + 12 . 12 - 288 = 0
144 + 144 - 288 = 0
288 - 288 = 0
0 = 0   

Perceba que n=12 é raiz dessa equação do segundo grau, logo, podemos responder que a quantidade de semanas necessárias para que a meta de 576 Km no total seja atingida é de 12 semanas.

Alternativa correta é a letra c).

Curiosidade:  o artifício utilizado para encontrar a raiz de n² + 12 n -288 = 0 só foi viável porque já tínhamos as alternativas de resposta, caso contrário poderíamos resolver utilizando outros métodos, vamos resolver aplicando o método de Bhaskara para obter as raízes desta equação do 2° grau.

n = (-b ± √Δ) / 2a   e    Δ = b² - 4ac

Δ = 12² - 4.1.(-288)
Δ = 144 +1152 = 1296
√Δ = 36

n = (-12 ± 36) / 2

n1 = 12  e  n2 = -24

Como o número de semanas tem que ser positivo, então descartamos n2 = -24 e ficamos com o número de semanas igual a 12.

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EsPCEx.

Um forte abraço e bons estudos.