(EsPCEx 2021) O número de soluções inteiras que satisfaz a inequação 4^x−10⋅2^x +16 < 0 é igual a

(EsPCEx 2021) O número de soluções inteiras que satisfaz a inequação 4^x−10⋅2^x +16 < 0 é igual a 

[A] 4.
[B] 3.
[C] 2.
[D] 1.
[E] 0.

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Solução: questão de matemática da EsPCEx (Concurso de Admissão à Escola Preparatória de Cadetes do Exército – 2021). Prova aplicada no dia 26/09/2021.

Re-escrevendo a inequação exponencial:

(2^x)² - 10⋅2^x +16 < 0

Vamos substituir (y = 2^x )

y² - 10y + 16 < 0

Agora temos que resolver uma inequação do segundo grau, vamos encontrar as raízes de y² - 10y + 16 usando o método de Bhaskara.

y = (-b ± √Δ) / 2a   e    Δ = b² - 4ac

Δ = (-10)² - 4.1.16

Δ = 100 - 64

Δ = 36

√Δ = 6

y = (10 ± 6) / 2

y1 = 8

y2 = 2 

Vamos esboçar o conjunto solução de y² - 10y + 16 < 0  repare que estamos diante de uma parábola com concavidade voltada para cima, pois o coeficiente a é igual a 1, portanto é positivo.  Fazendo seu esboço:

Repare que os valores de y que satisfazem estão compreendidos no intervalo entre 2 e 8, sem incluí-los. Vamos agora encontrar os respectivos valores para x.

y = 2^x 

2 = 2^x 

2¹ = 2^x 

x = 1

8 = 2^x 

2³ = 2^x

x = 3

Repare que o conjunto solução da inequação 4^x−10⋅2^x +16 < 0  é o conjunto { x ∈ R | 1 < x < 3 }.  O único número inteiro presente neste conjunto é o número 2.  Logo, só existe 1 solução inteira que satisfaz a inequação exponencial.

 
Alternativa correta é a letra d).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EsPCEx.

Um forte abraço e bons estudos.