(EsPCEx 2021) O produto (log3 12)⋅[log4 (10 ^ log10 7 )]⋅[log12 (log 11 11 ^ 4 )]⋅(log7 81) é igual a

(EsPCEx 2021) O produto

(log₃ 12)⋅[log₄ (10^{log₁₀ 7})]⋅[log₁₂(log₁₁11⁴ )]⋅(log₇ 81)

é igual a

[A] 3. [B] 4. [C] 5. [D] 6. [E] 7.

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Solução: questão de matemática da EsPCEx (Concurso de Admissão à Escola Preparatória de Cadetes do Exército – 2021). Prova aplicada no dia 26/09/2021.

Nesta questão sobre propriedades dos logaritmos, vamos primeiramente simplificar a expressão dada:

(log₃ 12)⋅[log₄ (10^log₁₀ 7 )]⋅[log₁₂ (log₁₁11⁴ )]⋅(log₇ 81)

(log₃ 12)⋅[log₄ (7)]⋅[log₁₂(4)]⋅(log₇ 3⁴)

(log₃ 12)⋅[log₄ (7)]⋅[log₁₂(4)]⋅ 4 ⋅(log₇ 3)

4 ⋅ (log₃ 12)⋅ (log₄ 7)⋅ (log₁₂ 4)⋅ (log₇ 3)

Simplificamos até essa expressão, agora o que podemos fazer é uma mudança de base de logaritmos, vamos levar todos eles para a base 12, exceto o próprio (log₁₂ 4) que já está.  Lembre-se, para mudar a base de log_ab para uma base c procedemos da seguinte forma:

log_ab = log_cb / log_ca

4 ⋅ [(log₁₂ 12)/( log₁₂ 3)] ⋅ [( log₁₂ 7)/( log₁₂ 4)] ⋅ [  log₁₂ 4 ]⋅ [(log₁₂ 3)/(log₁₂ 7)]

Com esta mudança, haverá muitas simplificações, vamos identificá-las nas cores vermelho, verde e azul.

4 ⋅ [ 1 /( log₁₂ 3)] ⋅ [( log₁₂ 7)/( log₁₂ 4)] ⋅ [  log₁₂ 4 ]⋅ [ (log₁₂ 3) / (log₁₂ 7) ]

4 ⋅ [1/1] ⋅ [1/1] ⋅[1]⋅ [1/ 1]

4

Alternativa correta é a letra b).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EsPCEx.

Um forte abraço e bons estudos.