(ESA 2022) Numa PA crescente, os seus dois primeiros termos são as raízes da equação 𝑋2 − 11 𝑋 + 24 = 0. Sabendo que o número de termos dessa PA é igual ao produto dessas raízes, então a soma dos termos dessa progressão é igual a: 

A) 1.100 B) 1.200 C) 1.452 D) 1.350 E) 1.672

Solução: questão de matemática da ESA (Escola de Sargentos das Armas) do Concurso de Admissão 2021 aos Cursos de Formação e Graduação de Sargentos 2022 – 23 . Prova aplicada no dia 03/10/2021.

Questão muito rica que envolve a solução de uma equação do segundo grau e também progressão aritmética (PA).  Em primeiro lugar, vamos encontrar as raízes da equação 𝑋2 − 11 𝑋 + 24 = 0.

Podemos resolver essa equação do segundo grau, utilizando a fórmula de Bhaskara.  Entretanto, vamos utilizar um outro caminho.  Vamos usar as Relações de Girard.

A soma das raízes é igual a -b/a
O produto das raízes é igual a c/a

S = - (-11)/1 = 11
P = 24/1 = 24

O produto P = 24 pode ser decomposto em fatores primos 24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 8 x 3.

Perceba que duas raízes, cuja soma vale 11 e o produto vale 24 só podem ser as raízes x1 = 3 e x2 = 8.  Note que  x1 + x2 = 11 e x1.x2 = 24.

Obs:  se você se sentir mais seguro, pode usar a fórmula de Bhaskara.

A partir de agora, já sabemos que a PA crescente tem a1 = 3 e a2 = 8, além disso ela tem 3x8 = 24 elementos.  A razão (r) dessa PA é igual a (a1 - a2) = (8-3) = 5.  

PA = {3, 8, 13, 18, .... , 24° elemento }

Podemos encontrar o 24° elemento dessa PA, o qual chamaremos de a24, usando a fórmula do n-ésimo termo de uma PA.

Obs: caso precise, faça por aqui uma revisão das fórmulas de PA e PG.

an = a1 + (n-1) . r
a24 = 3 + (24-1) . 5
a24 = 3 + 23 . 5
a24 = 3 + 115
a24 = 118

Agora, precisamos de outra fórmula de PA, precisamos da fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA.

Sn = n .  (a1 + an) /2
S24 = 24 . (3 + 118) / 2
S24 = 24 . (121) / 2
S24 = 12 . (121)
S24 = 1452 
 
Alternativa correta é a letra c).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da ESA.

Um forte abraço e bons estudos.