(FAMERP 2020) Admita que cada um dos tons de qualquer uma das três cores primárias seja definido por um número inteiro de 0 a 255. Sobrepondo-se duas cores primárias diferentes, com seus respectivos tons, o resultado sempre será uma cor inédita. Sobrepondo-se uma cor primária a ela mesma, o resultado será uma cor inédita apenas quando a sobreposição for entre cores primárias iguais mas de tons diferentes. Nessas condições, o número de cores inéditas que podemos produzir com a sobreposição de duas cores primárias, sejam elas iguais ou diferentes, é

(FAMERP 2020) Admita que cada um dos tons de qualquer uma das três cores primárias seja definido por um número inteiro de 0 a 255. Sobrepondo-se duas cores primárias diferentes, com seus respectivos tons, o resultado sempre será uma cor inédita. Sobrepondo-se uma cor primária a ela mesma, o resultado será uma cor inédita apenas quando a sobreposição for entre cores primárias iguais mas de tons diferentes. Nessas condições, o número de cores inéditas que podemos produzir com a sobreposição de duas cores primárias, sejam elas iguais ou diferentes, é

(A) 2¹⁶ ⋅ 3 + 2¹⁷ = 327680
(B) 2¹⁵ ⋅ 3 + 2¹⁷ = 229376
(C) 2⁸ ⋅ (2⁸ – 1) ⋅ 3 + 2¹⁶ ⋅ 3 = 392448
(D) 2⁸ ⋅ (2⁸ –1) ⋅ 3 + 2¹⁷ = 326912
(E) 2¹⁷ ⋅ 3 = 393216

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Solução: questão de matemática da FAMERP 2020,  prova aplicada no dia 09/12/2019.

Para simplificar a resolução, vamos considerar que as 3 cores primárias são A, B e C.

De acordo com o enunciado, cada uma delas possui 256 tonalidades.   E o objetivo é sobrepor duas cores primárias, iguais ou diferentes, e calcularmos quantas cores inéditas podem ser formadas.

>>  Do enunciado: "Sobrepondo-se duas cores primárias diferentes, com seus respectivos tons, o resultado sempre será uma cor inédita."

Sendo assim, quando misturamos duas cores primárias diferentes, teremos um total de 256 x 256 possibilidades de cores inéditas.  Além disso, temos 3 duplas de combinações diferentes:

A com B  =  256 x 256

A com C  =  256 x 256 

B com C  =  256 x 256

Somando = 256 x 256 + 256 x 256 + 256 x 256 = 3 x (256 x 256)

256 = 2⁸

256 x 256 = 2⁸ x 2⁸ = 2¹⁶

O total até aqui é de 3 x ( 2¹⁶ ) cores inéditas

>>  Do enunciado: "Sobrepondo-se uma cor primária a ela mesma, o resultado será uma cor inédita apenas quando a sobreposição for entre cores primárias iguais mas de tons diferentes."

Sendo assim, quando misturamos duas cores primárias iguais, por exemplo, A com A, então teremos um total de (256 x 256) - 256 pares que produzem cores inéditas.  

Isto porque quando cair a tonalidade (0) de A com a mesma tonalidade (0) de A, então a cor não será inédita, o mesmo ocorrerá com as tonalidade, (1), (2), (3), .. até a (255).  Logo temos que eliminar A(0) com A(0), A(1) com A(1), A(2) com A(2), ....., A(255) com A(255), ou seja, são 256 pares que não estão produzindo cores inéditas.

Lembre-se que (256 x 256) - 256 = 2¹⁶ - 2⁸

Temos que somar os três casos a seguir:

A com A = 2¹⁶ - 2⁸

B com B = 2¹⁶ - 2⁸

C com C = 2¹⁶ - 2⁸

O total desta parte é 3 x (2¹⁶ - 2⁸) cores inéditas

Finalmente basta somar os dois valores encontrados:

3 x (2¹⁶)  +  3 x (2¹⁶ - 2⁸)

3 x (2¹⁶)  +  3 x 2⁸ x (2⁸ - 1)

 

Alternativa correta é a letra c).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da FAMERP.

Um forte abraço e bons estudos.