(FAMERP 2021) O domínio da função f, dada pela lei f(x) = 6 · 3x , é o conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Sabendo que 36 = 729, a média aritmética de todos os elementos do conjunto imagem dessa função é igual a 

(A) 1092.
(B) 729.
(C) 970.
(D) 1086.
(E) 1458.

Solução: questão de matemática da FAMERP 2021,  prova aplicada no dia 12/01/2021.

Vamos obter o conjunto imagem:

x  |  f(x)
1  |  6 · 31   
2  |  6 · 32   
3  |  6 · 33   
4  |  6 · 34   
5  |  6 · 35   
6  |  6 · 36   

Agora, temos que calcular a média aritmética de todos os elementos do conjunto imagem, para isso temos que somar os 6 elementos e dividir por 6 que é a quantidade de elementos.

M = [6 · 31 + 6 · 32   + 6 · 33  + 6 · 34 + 6 · 35  + 6 · 36 ] / 6
M = 6 [ 31 + 32  +  33  +  34 +  35  + 36 ] / 6
M =  31 + 32  +  33  +  34 +  35  + 36 

A partir de agora, para encontrarmos M, temos que somar estes 6 elementos, repare que eles estão formando uma Progressão Geométrica (PG) de 6 termos onde o primeiro termo (a1) é igual a 3 e a razão (q) é igual a 3, veja só:

PG {a1, a2, a3, ... } = { 3, 3 x 3 = 3², 3² x 3 = 3³, ..... } 

O que vamos fazer aqui é aplicar a fórmula da soma dos n primeiros termos da PG.

Sn = [a1 . (qn - 1) ] /  (q-1)
S6 = [3 . (36 - 1) ] /  (3-1)
S6 = [3 . (729 - 1) ] /  2
S6 = [3 . (728) ] /  2
S6 = 3 . (364) 
S6 = M = 1092
 
Alternativa correta é a letra a).

Obs: um caminho alternativo seria somar todos os elementos, uma vez que são poucos.  

M =  31 + 32  +  33  +  34 +  35  + 36 

M = 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729 = 1092

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da FAMERP.

Um forte abraço e bons estudos.