(FAMERP 2021) O domínio da função f, dada pela lei f(x) = 6 · 3^x , é o conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Sabendo que 3^6 = 729, a média aritmética de todos os elementos do conjunto imagem dessa função é igual a

(FAMERP 2021) O domínio da função f, dada pela lei f(x) = 6 · 3^x , é o conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Sabendo que 3⁶ = 729, a média aritmética de todos os elementos do conjunto imagem dessa função é igual a

(A) 1092.
(B) 729.
(C) 970.
(D) 1086.
(E) 1458.

Solução: questão de matemática da FAMERP 2021, prova aplicada no dia 12/01/2021.

Vamos obter o conjunto imagem:

x | f(x)

1 | 6 · 3¹

2 | 6 · 3²

3 | 6 · 3³

4 | 6 · 3⁴

5 | 6 · 3⁵

6 | 6 · 3⁶

Agora, temos que calcular a média aritmética de todos os elementos do conjunto imagem, para isso temos que somar os 6 elementos e dividir por 6 que é a quantidade de elementos.

M = [6 · 3¹ + 6 · 3² + 6 · 3³ + 6 · 3⁴ + 6 · 3⁵ + 6 · 3⁶ ] / 6

M = 6 [ 3¹ + 3² + 3³ + 3⁴ + 3⁵ + 3⁶ ] / 6

M = 3¹ + 3² + 3³ + 3⁴ + 3⁵ + 3⁶

A partir de agora, para encontrarmos M, temos que somar estes 6 elementos, repare que eles estão formando uma Progressão Geométrica (PG) de 6 termos onde o primeiro termo (a1) é igual a 3 e a razão (q) é igual a 3, veja só:

PG {a1, a2, a3, ... } = { 3, 3 x 3 = 3², 3² x 3 = 3³, ..... }

O que vamos fazer aqui é aplicar a fórmula da soma dos n primeiros termos da PG.

Sn = [a1 . (qⁿ - 1) ] / (q-1)

S6 = [3 . (3⁶ - 1) ] / (3-1)

S6 = [3 . (729 - 1) ] / 2

S6 = [3 . (728) ] / 2

S6 = 3 . (364)

S6 = M = 1092

Alternativa correta é a letra a).

Obs: um caminho alternativo seria somar todos os elementos, uma vez que são poucos.

M = 3¹ + 3² + 3³ + 3⁴ + 3⁵ + 3⁶

M = 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729 = 1092

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da FAMERP.

Um forte abraço e bons estudos.