(UNICAMP 2022) O polinômio 𝑝(𝑥) = 2𝑥^3 + 𝑎𝑥^2 + 𝑏x + 𝑐 é divisível por 2𝑥^2 − 𝑥 + 4. O valor de 𝑐 + 2𝑏 − 𝑎 é:

(UNICAMP 2022) O polinômio 𝑝(𝑥) = 2𝑥³ + 𝑎𝑥² + 𝑏x + 𝑐 é divisível por 2𝑥² − 𝑥 + 4. O valor de 𝑐 + 2𝑏 − 𝑎 é:

a) 9.
b) 15.
c) 21.
d) 25.

Solução: questão de matemática do Vestibular UNICAMP 2022. Prova aplicada no dia 07/11/2021.

Para resolvermos essa questão, como p(x) é divisível pelo outro polinômio dado, então vamos fazer a divisão de polinômios e igualar o resto a zero.

2𝑥³ + 𝑎𝑥² + 𝑏x + 𝑐 | 2𝑥² − 𝑥 + 4

-2x³ + x² - 4x x + (a+1)/2

x² (a+1) + x(b-4) + c

-x² (a+1) + x[(a+1)/2] - 2(a+1)

x [ b - 4 + a/2 + 1/2 ] + [ c - 2a -2 ]

Como o resto tem que ser igual a 0, então:

b - 4 + a/2 + 1/2 = 0 (Equação I)

c - 2a -2 = 0 (Equação II)

O objetivo da questão é calcular o valor de 𝑐 + 2𝑏 − 𝑎, para isso, vamos isolar b e c nas equações I e II.

b - 4 + a/2 + 1/2 = 0 (multiplicando todos os elementos por 2)

2b -8 + a + 1 = 0

2b = 7 - a

b = (7-a)/2

c - 2a -2 = 0

c = 2a + 2

Aplicando em 𝑐 + 2𝑏 − 𝑎

2a + 2 + 2 (7-a)/2 - a

2a + 2 + 7 - a - a

Alternativa correta é a letra a).

Um forte abraço e bons estudos.