(ESA 2021) Um ponto P, de um sistema de coordenadas cartesianas, pertence à reta de equação y = x-2.  Sabe-se que o ponto P é equidistante do eixo das ordenadas e do ponto Q (16,0). Dessa maneira, um possível valor para as coordenadas do ponto P é:

a) P (8, 10).
b) P (10, 8).
c) P (9, 7).
d) P (12, 10).
e) P (7, 9).

Solução: questão de matemática da ESA (Escola de Sargentos das Armas) do Concurso de Admissão 2020 aos Cursos de Formação e Graduação de Sargentos 2021 – 22 . Prova aplicada no dia 04/10/2020.

Uma questão de geometria analítica muito interessante.  Para facilitar a resolução, vamos ilustrar no plano cartesiano os elementos informados no enunciado, vamos ilustrar também o ponto R, contido no eixo y.





Repare que o ponto P(x,y) é um ponto pertencente à reta de equação y=x-2, então podemos substituir P(x,y) por P(x , x-2).  Além disso, de acordo com o enunciado, as distâncias d1 e d2 são iguais.

Nesta questão, vamos utilizar a fórmula da distância entre dois pontos de coordenadas (x1,y1) e (x2,y2) que é dada por: √[(x2-x1)² + (y2-y1)²]

No cálculo da distância d1, vamos calcular a distância entre os pontos R e P.  Note que o ponto R (0, x-2) que está contido no eixo y, possui a mesma altura do ponto P (x, x-2).

d1 = √[(x-0)² + (x-2-x+2)²]
d1 = √x²

Já a distância d2 pode ser calculada pela fórmula da distância entre os pontos P(x, x-2) e Q(16,0).

d2 = √[(16-x)² + (0-x+2)²]
d2 = √[(16-x)² + (2-x)²]

Como d1 = d2, então temos:

√x² = √[(16-x)² + (2-x)²]
x² = (16-x)² + (2-x)²
x² = 256 - 32x + x² + 4 - 4x + x²
x² - 36x + 260 = 0

Soma das raízes vale -b/a = 36
Produto das raízes vale c/a = 260

As raízes só podem ser 10 e 26.

**Você também pode encontrar essas raízes usando a fórmula de Bhaskara.

Sendo assim, o ponto P(x , x-2) só poderá ser o P(10, 8) ou o P(26, 24).  O único presente nas alternativas de resposta é o P(10,8).

Alternativa correta é a letra b).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da ESA.

Um forte abraço e bons estudos.