(FUVEST 2022) Uma empresa construiu um poço para armazenar água de reúso. O custo para construir o primeiro metro foi de R$ 1.000,00, e cada novo metro custou R$ 200,00 a mais do que o imediatamente anterior. Se o custo total da construção foi de R$ 48.600,00, a profundidade do poço é:
(FUVEST 2022) Uma empresa construiu um poço para armazenar água de reúso. O custo para construir o primeiro metro foi de R$ 1.000,00, e cada novo metro custou R$ 200,00 a mais do que o imediatamente anterior. Se o custo total da construção foi de R$ 48.600,00, a profundidade do poço é:
(A) 15 m (B) 18 m (C) 21 m (D) 24 m (E) 27 m
Solução: questão de matemática da FUVEST 2022, prova aplicada no dia 12/12/2021.
Uma questão muito interessante que requer interpretação e identificação de que estamos diante de uma progressão aritmética (PA) que possui (n) elementos, razão (r = 200) e o primeiro termo vale (a1=1000).
PA = { a1, a2 a3, ... , an }
PA = { 1000, 1200, 1400, ... , an }
O objetivo da questão é encontrar "a profundidade do poço" que é igual a quantidade de elementos dessa PA, ou seja:
n = quantidade de elementos da PA = profundidade do poço
Sabemos que an = a1 + (n-1).r
an = 1000 + (n-1).200
an = 1000 + 200n - 200
an = 200n + 800
Além disso, o custo total da construção foi de R$ 48.600,00, isto quer dizer que a soma dos n primeiros termos da PA vale 48.600.
>> Caso necessário, faça por aqui uma revisão das fórmulas de PA e PG.
Sn = (a1 + an) . n
2
48 600 = (1000 + 200n + 800) . n
2
48 600 = (1800 + 200n) . n
2
48 600 = (900 + 100n) . n
A partir deste ponto, poderíamos adotar dois caminhos para resolver este problema, vamos realizar os dois a seguir.
Método I (utilizar as alternativas de resposta)
Como temos as alternativas de resposta e n é um número natural, podemos conseguir encontrá-lo mais facilmente fazendo o seguinte:
48 600 = (900 + 100n) . n
48 600 / n = 900 + 100n
Vamos dividir todos por 100
486/n = 9 + n
De acordo com a estrutura da equação, como 9 + n é um número natural, então 486/n também tem que ser, então vamos buscar nas alternativas de resposta os divisores de 486.
(A) 15 [ não é divisor de 486]
(B) 18 [é divisor de 486, então vamos testá-lo na equação]
486/18 = 9 + 18
27 = 27 (ok!)
Sendo assim, n = 18. Alternativa correta é a letra b).
Método II (obter uma equação do 2° grau e encontrar n)
Caso não tivéssemos as alternativas de resposta, resolveríamos da forma tradicional, conforme a seguir:
48 600 = (900 + 100n) . n
48 600 = 900n + 100n²
100n² + 900n - 48 600 = 0
Dividindo todos por 100
n² + 9n - 486 = 0
Vamos obter as raízes da equação do segundo grau pela fórmula de Bhaskara: Δ = 9² - 4 . 1 . (-486) Δ = 81 + 1944 Δ = 2025 √Δ = 45 n = (-9 ± 45)/2 A única raiz que nos interessa é a raiz positiva n = (-9 + 45)/2 n = 18 |
Alternativa correta é a letra b).
Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da FUVEST.
Um forte abraço e bons estudos.