(FUVEST 2022) Uma empresa construiu um poço para armazenar água de reúso. O custo para construir o primeiro metro foi de R$ 1.000,00, e cada novo metro custou R$ 200,00 a mais do que o imediatamente anterior. Se o custo total da construção foi de R$ 48.600,00, a profundidade do poço é: 

(A) 15 m (B) 18 m (C) 21 m (D) 24 m (E) 27 m

Solução: questão de matemática da FUVEST 2022,  prova aplicada no dia 12/12/2021.

Uma questão muito interessante que requer interpretação e identificação de que estamos diante de uma progressão aritmética (PA) que possui (n) elementos, razão (r = 200) e o primeiro termo vale (a1=1000).

PA = { a1, a2 a3, ... , an } 
PA = { 1000, 1200, 1400, ... , an } 

O objetivo da questão é encontrar "a profundidade do poço" que é igual a quantidade de elementos dessa PA, ou seja:  

n = quantidade de elementos da PA =  profundidade do poço

Sabemos que an = a1 + (n-1).r
an = 1000 + (n-1).200
an = 1000 + 200n - 200
an = 200n + 800

Além disso, o custo total da construção foi de R$ 48.600,00, isto quer dizer que a soma dos n primeiros termos da PA vale 48.600.

>> Caso necessário, faça por aqui uma revisão das fórmulas de PA e PG.

Sn = (a1 + an) . n
               2
48 600 = (1000 + 200n + 800) . n
                                   2
48 600 = (1800 + 200n) . n
                                   2
48 600 = (900 + 100n) . n

A partir deste ponto, poderíamos adotar dois caminhos para resolver este problema, vamos realizar os dois a seguir.

Método I  (utilizar as alternativas de resposta)

Como temos as alternativas de resposta e n é um número natural, podemos conseguir encontrá-lo mais facilmente fazendo o seguinte:

48 600 = (900 + 100n) . n
48 600 / n = 900 + 100n
Vamos dividir todos por 100
486/n = 9 + n

De acordo com a estrutura da equação, como 9 + n é um número natural, então 486/n também tem que ser, então vamos buscar nas alternativas de resposta os divisores de 486.

(A) 15 [ não é divisor de 486]

(B) 18 [é divisor de 486, então vamos testá-lo na equação]

486/18 = 9 + 18
27 = 27 (ok!)

Sendo assim, n = 18.  Alternativa correta é a letra b).


Método II (obter uma equação do 2° grau e encontrar n)

Caso não tivéssemos as alternativas de resposta, resolveríamos da forma tradicional, conforme a seguir:

48 600 = (900 + 100n) . n
48 600 = 900n + 100n²
100n² + 900n - 48 600 = 0
Dividindo todos por 100
n² + 9n - 486 = 0

Vamos obter as raízes da equação do segundo grau pela fórmula de Bhaskara:

Δ = 9² - 4 . 1 . (-486)
Δ = 81 + 1944
Δ = 2025
√Δ = 45

n = (-9 ± 45)/2
A única raiz que nos interessa é a raiz positiva
n = (-9 + 45)/2
n = 18
 
Alternativa correta é a letra b).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da FUVEST.

Um forte abraço e bons estudos.