(VUNESP 2022) Os computadores utilizam a representação binária no lugar dos números naturais do nosso sistema de numeração. Na escrita numérica binária, são utilizados apenas dois algarismos, o 0 e o 1, para escrever de forma única qualquer número natural do nosso sistema decimal. A conversão dos números naturais 0, 1, 2, 3, 9, 14 e 102 do sistema numérico decimal para seus correspondentes no sistema numérico binário, que são 0, 1, 10, 11, 1001, 1110 e 1100110, respectivamente, está representada a seguir.


Convertendo o ano em que estamos, 2021, do sistema decimal para o binário, encontraremos um número cujo total de algarismos iguais a 1 supera o de algarismos iguais a 0 em 

(A) quatro. (B) três. (C) cinco. (D) dois. (E) seis.

Solução: questão de matemática do Vestibular da UNESP 2022 (Cursos das Áreas de Exatas e Humanidades),  prova do dia 15/11/2021.

Para encontrarmos a representação do número 2021 na base binária, vamos utilizar o método das divisões sucessivas.  O método das divisões sucessivas quando utilizado para converter um número da base decimal para o seu respectivo número na base binária,  consiste em dividir esse número, no caso o 2021, por 2 até chegarmos em quociente igual a zero.  A cada divisão, nós guardamos os valores dos restos da divisão.  Ao final, pegamos os restos na ordem inversa em que apareceram (de trás pra frente) para construir o número binário.  Veja na ilustração a seguir:




Repare que primeiramente o 2021 foi dividido por 2 e resultou em quociente igual a 1010 e resto 1.  Atente para o fato de que estamos anotando todos os restos em vermelho.  Agora, o que vamos fazer com o 1010?  Vamos dividir novamente por 2 e vamos ter como resultado quociente igual a 505 e resto igual a 0.  Vamos seguir esse procedimento até chegarmos ao quociente valendo 0.  Ao final, nós vamos construir o número binário pegando todos os restos de trás para frente, ou seja, começando pelo último que apareceu e indo até o primeiro.

Sendo assim, podemos concluir que 

(2021)10 = (11111100101)2

Agora, o objetivo da questão é saber a diferença: (quantidade de algarismos iguais a 1) - (quantidade de algarismos iguais a 0) que é igual a 8 - 3 = 5.  Alternativa correta é a letra c).

Curiosidade:

(11111100101)2 ao ser convertido para a base decimal será igual a (2021)10.  Vamos provar isso, para convertermos um número de binário para decimal, basta fazermos o desenvolvimento polinomial:

(11111100101)2 = 1 x 210 + 1 x 29 + 1 x 28 + 1 x 27 + 1 x 26 + 1 x 25 + 0 x 24 + 0 x 23 + 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 = 1024 + 512 + 256 + 128 + 64 + 32 + 4 + 1 = 2021.

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores do Vestibular da UNESP.

Um forte abraço e bons estudos.