(EFOMM 2022) Determine o valor de a, para o qual o determinante abaixo é nulo.

a) -2  b) -1  c) 0  d) 1  e) 2

Solução: questão de matemática do Processo Seletivo de Admissão às Escolas de Formação de Oficiais da Marinha Mercante – EFOMM (2021/2022), prova do dia 15/08/2021.

Para resolvermos essa questão, utilizaremos as propriedades dos determinantes de matrizes.  Em primeiro lugar, repare nas colunas 1 e 4 da matriz.


Das propriedades dos determinantes, sabemos que quando existirem duas linhas (ou duas colunas) que sejam proporcionais, isto é, uma pode ser obtida por meio da multiplicação da outra por um número real qualquer, então o determinante desta matriz será nulo.  

Exemplo:  imagine que a primeira linha de uma matriz qualquer seja: {1 , 3 ,  -2}.  Nesta mesma matriz, a segunda linha possui os valores { 10, 30, -20 }.  Perceba que a linha 2 é igual aos elementos da linha 1 multiplicados por 10.  Perceba a seguir:

Linha 1 =   {1 , 3 ,  -2}
Linha 2 =  { 1 x 10 = 10   ,  3 x 10 = 30  ,   -2 x 10 =  -20 }  = { 10, 30, -20 } 

Quando isto ocorre, o resultado do determinante dessa matriz valerá 0.   Como curiosidade e exercício, tente escrever uma matriz na qual a linha 1 = {1 , 3 ,  -2} , a linha 2 = { 10, 30, -20 } e na linha 3 você pode escolher os elementos e calcular o determinante.  Você sempre encontrará determinante igual a 0.  Pode alternar também estes valores entre as linhas e as colunas. 

Detalhe, o determinante também será nulo quando existirem duas linhas (ou duas colunas) iguais.  Faz sentido, é como se cada linha (ou coluna) na regra anterior fosse multiplicada simplesmente por 1 para se chegar ao resultado da outra.

Voltando a questão, repare que as colunas 1 e 4 da matriz dada estão atendendo a este critério, repare:

coluna 1 =  {2, -1, 1, 0}
coluna 4 = {-2, a, -1, 0} 

Perceba que os valores da coluna 4 são iguais aos valores da coluna 1 multiplicados por -1, ou seja, simplesmente estão com os sinais trocados.
 

Sendo assim, para que o determinante da matriz seja nulo, precisamos que

(-1) x (-1) = a
a = 1

Alternativa correta é a letra d).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da EFOMM.

Um forte abraço e bons estudos.