(FATEC 2018) Ao ser contratado para trabalhar em uma empresa, o Sr. Cavalcante precisa criar uma senha de acesso. Contudo, devido a normas de segurança implementadas, a senha deve conter pelo menos quatro caracteres distintos: uma letra maiúscula, uma letra minúscula, um caractere não alfanumérico e um algarismo. 

Para os seus primeiros dias de trabalho, o sistema gerou, aleatoriamente, a senha

    #Fa1

Sem tempo de repensar uma senha, o Sr. Cavalcante decidiu que 

  • obrigatoriamente utilizaria apenas os caracteres: #, F, a, 1; 
  • e que nenhum desses caracteres, em sua nova senha, deveria ocupar a mesma posição da senha gerada pelo sistema. 

Nessas condições, o número total de senhas distintas que o Sr. Cavalcante poderá criar é 

(A) 4. (B) 9. (C) 10. (D) 23. (E) 24.

Solução: questão de raciocínio lógico do Vestibular Fatec 2° Semestre 2018, prova aplicada no dia 01/07/2018.

Uma questão muito interessante de análise combinatória.  Se acelerarmos a interpretação da questão, principalmente em um momento de prova, poderíamos crer que bastaria calcular 4! e marcar 24.   Talvez, pensar em (4!) - 1 devido ao fato de que uma senha já foi gerada automaticamente pelo sistema e marcar 23.  Ambas são alternativas incorretas.
 
Atente para a regra do enunciado de que ao gerar as senhas

#  não poderá ocupar a pos. 1
F  não poderá ocupar a pos. 2
a  não poderá ocupar a pos. 3
1  não poderá ocupar a pos. 4

Vamos resolver este problema construindo uma árvore de possibilidades.

Na primeira posição, não podemos ter o #, só podemos ter 3 caracteres, são eles:  F, a ou 1.

Na posição 2, nem sempre teremos espaço para outros 3 elementos, note que após o caractere F da primeira posição, nós podemos inserir na segunda posição outros três elementos, entretanto, caso a senha inicie com a ou com 1, então ela só terá na segunda posição outros dois elementos.



Agora, basta finalizar a árvore de possibilidades, colocando nas posições 3 e 4 os caracteres que são válidos de acordo com a regra do enunciado e chegaremos ao seguinte resultado.


Finalmente, basta contar a quantidade de caminhos (senhas) possíveis e chegaremos ao resultado de 9 possibilidades.

Alternativa correta é a letra b).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática do Vestibular FATEC - SP.

Um forte abraço e bons estudos.