(EPCAR 2019) Gabriel, depois de uma longa temporada de dedicação aos estudos, foi descansar na casa de seus avós, no interior. Lá chegando, percebeu que muitas coisas de sua infância ainda permaneciam intocáveis. Exemplo disso foi a “venda” de seu avô... uma verdadeira bagunça! 

Para ajudar na organização da “venda”, Gabriel aplicou conhecimentos de matemática básica. Assim, ele pegou os quatro sacos de café que ficavam à frente do balcão, pesou-os e etiquetou-os conforme ilustra a Figura (1), em kg

Em seguida, com o total de peso que obteve, retirou ou colocou, em kg, café em cada saco, e anotou numa folha de papel como mostra a Figura (2)

Na Figura (2), o símbolo de (+) indica que aquele saco recebeu alguns quilogramas de café, descrito logo à frente do símbolo, bem como o de (-) indica que dele foram retirados alguns quilogramas de café, também descrito logo à frente do símbolo. 

Para não perder as contas, Gabriel anotou, também, que: 

• o produto da quantidade retirada do saco (II) pela quantidade retirada do saco (IV), em kg, é igual a 165 

• depois de acrescentar ou retirar café nos sacos, todos passaram a ter a mesma quantidade, em kg 

Dessa forma, sendo { x, y, m, n } ⊂ IN∗,  é correto afirmar que

a) a maior quantidade que foi retirada de um dos sacos de café foi superior a 30 kg
b) na Figura (1), a diferença de peso entre os sacos (III) e (I) era de 82 kg
c) x + y = m
d)  m  > 2
       n 

Solução: questão de matemática da EPCAR 2020, que envolve equações do primeiro e do segundo grau.

Primeiramente, vamos encontrar y fazendo o produto da quantidade retirada do saco (II) pela quantidade retirada do saco (IV) e igualando a 165.

(2y - 3) . (y + 2) = 165
2y² + 4y - 3y - 6 = 165
2y² + y - 171 = 0

Vamos aplicar a fórmula de Bhaskara.

Δ = b² - 4ac
Δ = 1² - 4(2)(-171)
Δ = 1 + 1368
Δ = 1369
√Δ = 37

y = (-b ± √Δ) / 2a 
y = (-1 ± 37) / 2(2) 
y = (-1 ± 37) / 4

Do enunciado, sabemos que y  ⊂ IN∗, sendo assim, só nos interessa a raiz positiva.

y = (-1 + 37) / 4
y = 36 / 4
y = 9

Com isso, vamos atualizar a figura 2 com este valor encontrado para y.


Agora, nós vamos adicionar ou retirar dos sacos da figura 1, as quantidades descritas na figura 2.



Agora, todas essas quantidades são iguais, vamos fazer o seguinte:  vamos obter o valor de x igualando as quantidades  (II) = (IV)

5x + 2 = 6x - 13
-6x + 5x = -13 - 2
-x = -15
x = 15

Vamos aplicar este valor de x no saco (II) e descobrir quantos kg ele tem.

Peso do saco (II) = 5x + 2
Peso do saco (II) = 5 . 15 + 2
Peso do saco (II) = 75 + 2
Peso do saco (II) = 77

Acabamos de descobrir que o saco (II) possui 77 kg, já sabemos que todos eles possuem a mesma quantidade, ou seja, todos pesam 77 kg.  Isto vai nos ajudar a encontrar m e n.

(I) = 77
2x - 7 + m = 77
2.15 - 7 + m = 77
m = 77 + 7 - 30
m = 54

(III) = 77
7x - n = 77
7 . 15 - n = 77
105 - n = 77
-n = 77 - 105
-n = -28
n = 28

Finalmente, descobrimos que { x, y, m, n } = { 15, 9, 54, 28 }.  Já podemos julgar as alternativas de resposta.

a) a maior quantidade que foi retirada de um dos sacos de café foi superior a 30 kg

As três retiradas foram de 15, 28 e 11.  Portanto, a afirmativa é falsa, pois a maior quantidade retirada foi de 28 kg que é inferior a 30 kg.

b) na Figura (1), a diferença de peso entre os sacos (III) e (I) era de 82 kg

Atente para o fato de que temos que considerar os pesos iniciais, da primeira figura

(7x) - (2x - 7) 

(7 . 15)  -   ( 2 . 15 - 7 )
105 - (30 - 7)
105 - (23) 
82

Alternativa b) está correta.

c) x + y = m

15 + 9 = 54
24 = 54 (FALSO)

d)  m  > 2
       n 

54/28 > 2
27/14 > 2 (FALSO)

Sabemos que 28/14 é igual a 2, logo, 27/14 é um valor abaixo de 2.  Mesmo sem fazer cálculos, já podemos perceber que a afirmação é falsa.

Se dividirmos 27/14 chegaremos a aproximadamente 1,9

(27/14) ≅ 1,9 que não é maior que 2.

Alternativa correta é a letra b).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EPCAR.

Um forte abraço e bons estudos.