(Professor Docente I - Matemática - 2014 - Banca CEPERJ) A soma dos termos de ordem ímpar de uma progressão geométrica ilimitada é igual a 128 e a soma dos termos de ordem par é igual a 32. 

A soma dos algarismos do 1° termo será igual a: 

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Solução: questão do concurso para professor de matemática da Secretaria de Educação do Rio de Janeiro.  Banca organizadora CEPERJ, 2014.

Uma questão muito interessante sobre PG infinita.  Vamos ilustrar nossa PG da seguinte forma:

PG = {a1, a2, a3, a4, a5, a6, ....}

Sendo q, a razão desta PG, então podemos re-escrevê-la da seguinte forma:

PG = {a1, a1.q, a1.q², a1.q³, a1.q4, a1.q5, .....}

Com os termos ímpares (em azul), vamos construir a PG1.

PG1 = {a1, a1.q², a1.q4 ,  .....  } 

Com os termos pares (em vermelho), vamos construir a PG2.

PG2 =  {a1.q,  a1.q³, a1.q5, ...  }

Agora, vamos utilizar a fórmula da soma dos termos da PG infinita.

S = (primeiro termo da PG) / (1 - razão da PG)

Sabemos que a soma dos termos da PG1 vale 128.  Na PG1, o primeiro termo vale a1 e a razão vale q².

SPG1 = a1/(1-q²) = 128  [equação I]

Sabemos que a soma dos termos da PG2 vale 32.  Na PG2, o primeiro termo vale a1.q e a razão vale q².

SPG2 = a1.q/(1-q²) = 32  [equação II]

Vamos re-organizar a equação II de modo a isolarmos a expressão a1/(1-q²), pois sabemos, da equação I, que ela vale 128.

q . [ a1/(1-q²) ] = 32
q . [ 128 ] = 32
q = 32/128
q = 1/4

Descobrimos que a razão da PG principal vale 1/4, podemos agora descobrir o valor de a1 aplicando (q=1/4) na Equação I.

a1/(1-q²) = 128  [Equação I]
a1 / [1 - (1/4)²] = 128
a1 / [1 - (1/16)] = 128
a1 / (15/16) = 128
a1 = 128 x (15/16)
a1 = 8 x 15
a1 = 120

A soma dos algarismos do 1° termo da PG é igual a:  1 + 2 + 0 = 3.  Alternativa correta é a letra c).

Curiosidade:  a PG principal tem os seguintes elementos

PG =  {120; 30; 7,5; 1,875 ; ....  } 

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da Seeduc-RJ.

Um forte abraço e bons estudos.