(UECE 2021.1) No plano, com o sistema de coordenadas cartesianas usual, a interseção dos gráficos das funções reais de variável real f(x)=sen(x) e g(x)=cos(x) são, para cada número inteiro k, os pontos P(xk, yk). Então, os possíveis valores para yk são

(UECE 2021.1) No plano, com o sistema de coordenadas cartesianas usual, a interseção dos gráficos das funções reais de variável real f(x)=sen(x) e g(x)=cos(x) são, para cada número inteiro k, os pontos P(x_k, y_k). Então, os possíveis valores para y_k são

a)  √2   e   -√2  .
       2            2  

b)  √2   e   -√2  .
      3             3  

c)  √3   e   -√3  .
       2            2  

d)  √3   e   -√3  .
       3             3  

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Solução: questão de matemática do Vestibular da Universidade Estadual do Ceará (UECE) 2021.1, prova de conhecimentos gerais da 1ª Fase, aplicada no dia 20/06/2021.

Se escrevermos no plano cartesiano as funções f(x) e g(x), existirão infinitos pontos de interseção entre essas duas funções trigonométricas.  Todos estes pontos terão diferentes valores para x, entretanto só existirão apenas dois valores possíveis para y, são eles: 

 √2   e   -√2  .
   2            2  

No primeiro quadrante, sabemos que o sen x = cos x, quando x = π/4 rad  (45°).

sen 45° = cos 45° =  (√2) / 2

No terceiro quadrante, sabemos que o sen x = cos x, quando x = 5π/4 rad (225°).

sen 225° = cos 225° = - (√2) / 2

Ou seja, para responder esta questão, basta sabermos que f(x) e g(x) se interceptarão sempre em pontos P(x_k, y_k), de modo que os possíveis valores para y_k são:

 √2   e   -√2  
   2            2  

Alternativa correta é a letra a).

Curiosidade:  a seguir, uma breve ilustração dessas duas funções no plano cartesiano.  Sabemos que y é um número real tal que -1 ≤ y ≤ 1.  Existem infinitos pontos onde o gráfico das duas funções se encontram. Nestes pontos de encontro, os valores que x assume são diferentes, já os valores para y são sempre (√2)/2  ou  -(√2)/2.

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática do Vestibular da UECE.

Um forte abraço e bons estudos.