(UECE 2022.1) Em um plano munido do sistema usual de coordenadas cartesianas, a equação ax + by + c = 0, onde a, b e c são números reais constantes e não simultaneamente nulos, é representada graficamente por uma reta. Se r é a reta que contém o ponto Q = (3, 2) e a interseção das retas representadas pelas equações 2x + 3y - 7 = 0 e 3x + 2y - 8 = 0, então, dentre os pontos V = (0, 1), W = (1, 0), K = (-1, -5), L = (-1, 2) e J = (-1, -2) verifica-se que n deles pertencem à reta r. Assim, o valor de n é 

A) 4. B) 2. C) 1. D) 3.

Solução: questão de matemática do Vestibular da Universidade Estadual do Ceará (UECE) 2022.1, prova de conhecimentos gerais da 1ª Fase, aplicada no dia 15/11/2021.

Para resolvermos essa questão de geometria analítica, em primeiro lugar, vamos obter as coordenadas do ponto de interseção das retas (2x + 3y - 7 = 0) e (3x + 2y - 8 = 0) isolando y na primeira reta e aplicando este valor na segunda.

2x + 3y - 7 = 0
3y = 7 - 2x
y = (7 - 2x)/3

3x + 2y - 8 = 0
3x + 2(7 - 2x)/3 = 8
3x + 14/3 - 4x/3 = 8
9x/3 - 4x/3 = 24/3 - 14/3
5x/3 = 10/3
5x = 10
x = 10/5
x = 2

Para obter y, basta aplicar este valor de x na equação de qualquer uma dessas duas retas, vamos aplicar na primeira.

2x + 3y - 7 = 0
2.2 + 3y - 7 = 0
3y = 7 - 4
3y = 3
y = 1

Agora, já sabemos que a reta r passa pelo ponto (2,1) e pelo ponto Q = (3,2).

Para encontrarmos a equação da reta r, vamos calcular o seu coeficiente angular (m) por meio da fórmula:

m = (y2 - y1) / (x2 - x1)
m = (2 - 1) / (3 - 2)
m = 1

Agora, vamos utilizar a equação fundamental da reta.

(y-y0) = m (x-xo)

Vamos aplicar o ponto Q = (3,2) e o coeficiente angular m = 1.

(y - 2) = 1 (x - 3)
y - 2 = x - 3
y = x - 1  (equação de r)

Agora, dos 5 pontos dados no enunciado, temos que verificar quantos pertencem à reta r.  Os pontos são:

V = (0, 1)
W = (1, 0)
K = (-1, -5)
L = (-1, 2)
J = (-1, -2)

Note que estes 5 pontos possuem abscissas de valores 0, 1 ou -1.  Vamos encontrar para cada um destes valores de x o seu respectivo valor de y.

x = 0 ; y = 0 - 1 = -1 ; (x,y) = (0,-1)
x = 1 ; y = 1 - 1 = 0 ; (x,y) = (1,0)
x = -1 ; y = -1 -1 = -2 ; (x,y) = (-1,-2)

Agora, vamos eliminar os pontos que não pertencem à reta r.

V = (0, 1)
W = (1, 0)
K = (-1, -5)
L = (-1, 2)
J = (-1, -2)

Podemos verificar que dos 5 pontos dados, apenas 2 deles pertencem à reta r.

Alternativa correta é a letra b).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática do Vestibular da UECE.

Um forte abraço e bons estudos.