(UECE 2022.1) A solução da equação (𝑙𝑜𝑔2 (𝑥)) −1 + (𝑙𝑜𝑔3 (𝑥)) −1 + (𝑙𝑜𝑔4 (𝑥)) −1 + (𝑙𝑜𝑔5 (𝑥)) −1 = 2 é

a) 2√30.  b) 3 √10.  c) 2 √10.  d) 3√30.

Solução: questão de matemática do Vestibular da Universidade Estadual do Ceará (UECE) 2022.1, prova de conhecimentos gerais da 1ª Fase, aplicada no dia 15/11/2021.

Para resolvermos essa equação logarítmica, vamos adotar como estratégia, mudar as bases dos três primeiros logaritmos para a base 5.  Note que o 4° logaritmo já está na base 5.  Fazendo isso, teremos todos eles na mesma base.

Como fazer a mudança de base em logaritmos?


Para mudarmos loga b para uma base c devemos utilizar a seguinte estrutura:


Por exemplo, 𝑙𝑜𝑔2 (𝑥) na base 5 será igual a  

𝑙𝑜𝑔5 (𝑥) / 𝑙𝑜𝑔5 (2)

Já 𝑙𝑜𝑔3 (𝑥) na base 5 será igual a 

𝑙𝑜𝑔5 (𝑥) / 𝑙𝑜𝑔5 (3)

E finalmente,  𝑙𝑜𝑔4 (𝑥) na base 5 será igual a 

𝑙𝑜𝑔5 (𝑥) / 𝑙𝑜𝑔5 (4)

Vamos atualizar a equação logarítmica com estes logaritmos na base 5:

(𝑙𝑜𝑔2 (𝑥)) −1 + (𝑙𝑜𝑔3 (𝑥)) −1 + (𝑙𝑜𝑔4 (𝑥)) −1 + (𝑙𝑜𝑔5 (𝑥)) −1 = 2 
(𝑙𝑜𝑔5 (𝑥) / 𝑙𝑜𝑔5 (2)) −1 + (𝑙𝑜𝑔5 (𝑥) / 𝑙𝑜𝑔5 (3)) −1 + (𝑙𝑜𝑔5 (𝑥) / 𝑙𝑜𝑔5 (4)) −1 + (𝑙𝑜𝑔5 (𝑥)) −1 = 2 

Lembre-se que (a/b)−1 = (b/a)

(𝑙𝑜𝑔5 (2) / 𝑙𝑜𝑔5 (𝑥)) + (𝑙𝑜𝑔5 (3) / 𝑙𝑜𝑔5 (𝑥)) + (𝑙𝑜𝑔5 (4) / 𝑙𝑜𝑔5 (𝑥)) + ( 1 / 𝑙𝑜𝑔5 (𝑥)) = 2 

Atente para o fato de que 

 1 / 𝑙𝑜𝑔5 (𝑥)  =  𝑙𝑜𝑔5 (5) / l𝑜𝑔5 (𝑥)

Isto porque 1 = l𝑜𝑔5 (5)

(𝑙𝑜𝑔5 (2) / 𝑙𝑜𝑔5 (𝑥)) + (𝑙𝑜𝑔5 (3) / 𝑙𝑜𝑔5 (𝑥)) + (𝑙𝑜𝑔5 (4) / 𝑙𝑜𝑔5 (𝑥)) + (l𝑜𝑔5 (5) / 𝑙𝑜𝑔5 (𝑥)) = 2 

Agora, podemos perceber que todas as frações possuem o denominador 𝑙𝑜𝑔5 (𝑥), sendo assim, para somarmos essas 4 frações, basta repetir esse denominador e somar os numeradores.

[𝑙𝑜𝑔5 (2) + 𝑙𝑜𝑔5 (3) + 𝑙𝑜𝑔5 (4) + l𝑜𝑔5 (5) ] / 𝑙𝑜𝑔5 (𝑥) = 2 
[𝑙𝑜𝑔5 (2) + 𝑙𝑜𝑔5 (3) + 𝑙𝑜𝑔5 (4) + l𝑜𝑔5 (5) ] = 2 . 𝑙𝑜𝑔5 (𝑥)
𝑙𝑜𝑔5 (2 x 3 x 4 x 5) = 𝑙𝑜𝑔5 (𝑥)2

Finalmente, podemos visualizar que 

2 x 3 x 4 x 5 = (𝑥)2
x = √(2 x 3 x 4 x 5)
x = 2√30

Alternativa correta é a letra a).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática do Vestibular da UECE.

Um forte abraço e bons estudos.