(UECE 2022.1) A solução da equação (𝑙𝑜𝑔2 (𝑥))^−1 + (𝑙𝑜𝑔3 (𝑥))^−1 + (𝑙𝑜𝑔4 (𝑥))^−1 + (𝑙𝑜𝑔5 (𝑥))^−1 = 2 é

(UECE 2022.1) A solução da equação (𝑙𝑜𝑔₂ (𝑥)) ⁻¹ + (𝑙𝑜𝑔₃ (𝑥)) ⁻¹ + (𝑙𝑜𝑔₄ (𝑥)) ⁻¹ + (𝑙𝑜𝑔₅ (𝑥)) ⁻¹ = 2 é

a) 2√30.  b) 3 √10.  c) 2 √10.  d) 3√30.

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Solução: questão de matemática do Vestibular da Universidade Estadual do Ceará (UECE) 2022.1, prova de conhecimentos gerais da 1ª Fase, aplicada no dia 15/11/2021.

Para resolvermos essa equação logarítmica, vamos adotar como estratégia, mudar as bases dos três primeiros logaritmos para a base 5.  Note que o 4° logaritmo já está na base 5.  Fazendo isso, teremos todos eles na mesma base.

Como fazer a mudança de base em logaritmos?

Para mudarmos log_a b para uma base c devemos utilizar a seguinte estrutura:

Por exemplo, 𝑙𝑜𝑔₂ (𝑥) na base 5 será igual a  

𝑙𝑜𝑔₅ (𝑥) / 𝑙𝑜𝑔₅ (2)

Já 𝑙𝑜𝑔₃ (𝑥) na base 5 será igual a 

𝑙𝑜𝑔₅ (𝑥) / 𝑙𝑜𝑔₅ (3)

E finalmente,  𝑙𝑜𝑔₄ (𝑥) na base 5 será igual a 

𝑙𝑜𝑔₅ (𝑥) / 𝑙𝑜𝑔₅ (4)

Vamos atualizar a equação logarítmica com estes logaritmos na base 5:

(𝑙𝑜𝑔₂ (𝑥)) ⁻¹ + (𝑙𝑜𝑔₃ (𝑥)) ⁻¹ + (𝑙𝑜𝑔₄ (𝑥)) ⁻¹ + (𝑙𝑜𝑔₅ (𝑥)) ⁻¹ = 2 

(𝑙𝑜𝑔₅ (𝑥) / 𝑙𝑜𝑔₅ (2)) ⁻¹ + (𝑙𝑜𝑔₅ (𝑥) / 𝑙𝑜𝑔₅ (3)) ⁻¹ + (𝑙𝑜𝑔₅ (𝑥) / 𝑙𝑜𝑔₅ (4)) ⁻¹ + (𝑙𝑜𝑔₅ (𝑥)) ⁻¹ = 2 

Lembre-se que (a/b)⁻¹ = (b/a)

(𝑙𝑜𝑔₅ (2) / 𝑙𝑜𝑔₅ (𝑥)) + (𝑙𝑜𝑔₅ (3) / 𝑙𝑜𝑔₅ (𝑥)) + (𝑙𝑜𝑔₅ (4) / 𝑙𝑜𝑔₅ (𝑥)) + ( 1 / 𝑙𝑜𝑔₅ (𝑥)) = 2 

Atente para o fato de que 

 1 / 𝑙𝑜𝑔₅ (𝑥)  =  𝑙𝑜𝑔₅ (5) / l𝑜𝑔₅ (𝑥)

Isto porque 1 = l𝑜𝑔₅ (5)

(𝑙𝑜𝑔₅ (2) / 𝑙𝑜𝑔₅ (𝑥)) + (𝑙𝑜𝑔₅ (3) / 𝑙𝑜𝑔₅ (𝑥)) + (𝑙𝑜𝑔₅ (4) / 𝑙𝑜𝑔₅ (𝑥)) + (l𝑜𝑔₅ (5) / 𝑙𝑜𝑔₅ (𝑥)) = 2 

Agora, podemos perceber que todas as frações possuem o denominador 𝑙𝑜𝑔₅ (𝑥), sendo assim, para somarmos essas 4 frações, basta repetir esse denominador e somar os numeradores.

[𝑙𝑜𝑔₅ (2) + 𝑙𝑜𝑔₅ (3) + 𝑙𝑜𝑔₅ (4) + l𝑜𝑔₅ (5) ] / 𝑙𝑜𝑔₅ (𝑥) = 2 

[𝑙𝑜𝑔₅ (2) + 𝑙𝑜𝑔₅ (3) + 𝑙𝑜𝑔₅ (4) + l𝑜𝑔₅ (5) ] = 2 . 𝑙𝑜𝑔₅ (𝑥)

𝑙𝑜𝑔₅ (2 x 3 x 4 x 5) = 𝑙𝑜𝑔₅ (𝑥)²

Finalmente, podemos visualizar que 

2 x 3 x 4 x 5 = (𝑥)²

x = √(2 x 3 x 4 x 5)

x = 2√30

Alternativa correta é a letra a).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática do Vestibular da UECE.

Um forte abraço e bons estudos.