(UECE 2022.1) A soluΓ§Γ£o da equaΓ§Γ£o (πππ2 (π₯))^−1 + (πππ3 (π₯))^−1 + (πππ4 (π₯))^−1 + (πππ5 (π₯))^−1 = 2 Γ©
(UECE 2022.1) A soluΓ§Γ£o da equaΓ§Γ£o (πππ2 (π₯)) −1 + (πππ3 (π₯)) −1 + (πππ4 (π₯)) −1 + (πππ5 (π₯)) −1 = 2 Γ©
a) 2√30. b) 3 √10. c) 2 √10. d) 3√30.
SoluΓ§Γ£o: questΓ£o de matemΓ‘tica do Vestibular da Universidade Estadual do CearΓ‘ (UECE) 2022.1, prova de conhecimentos gerais da 1Βͺ Fase, aplicada no dia 15/11/2021.
Para resolvermos essa equaΓ§Γ£o logarΓtmica, vamos adotar como estratΓ©gia, mudar as bases dos trΓͺs primeiros logaritmos para a base 5. Note que o 4° logaritmo jΓ‘ estΓ‘ na base 5. Fazendo isso, teremos todos eles na mesma base.
Como fazer a mudanΓ§a de base em logaritmos?
Para mudarmos loga b para uma base c devemos utilizar a seguinte estrutura:
Por exemplo, πππ2 (π₯) na base 5 serΓ‘ igual a
πππ5 (π₯) / πππ5 (2)
JΓ‘ πππ3 (π₯) na base 5 serΓ‘ igual a
πππ5 (π₯) / πππ5 (3)
E finalmente, πππ4 (π₯) na base 5 serΓ‘ igual a
πππ5 (π₯) / πππ5 (4)
Vamos atualizar a equaΓ§Γ£o logarΓtmica com estes logaritmos na base 5:
(πππ2 (π₯)) −1 + (πππ3 (π₯)) −1 + (πππ4 (π₯)) −1 + (πππ5 (π₯)) −1 = 2
(πππ5 (π₯) / πππ5 (2)) −1 + (πππ5 (π₯) / πππ5 (3)) −1 + (πππ5 (π₯) / πππ5 (4)) −1 + (πππ5 (π₯)) −1 = 2
Lembre-se que (a/b)−1 = (b/a)
(πππ5 (2) / πππ5 (π₯)) + (πππ5 (3) / πππ5 (π₯)) + (πππ5 (4) / πππ5 (π₯)) + ( 1 / πππ5 (π₯)) = 2
Atente para o fato de que
1 / πππ5 (π₯) = πππ5 (5) / lππ5 (π₯)
Isto porque 1 = lππ5 (5)
(πππ5 (2) / πππ5 (π₯)) + (πππ5 (3) / πππ5 (π₯)) + (πππ5 (4) / πππ5 (π₯)) + (lππ5 (5) / πππ5 (π₯)) = 2
Agora, podemos perceber que todas as fraΓ§Γ΅es possuem o denominador πππ5 (π₯), sendo assim, para somarmos essas 4 fraΓ§Γ΅es, basta repetir esse denominador e somar os numeradores.
[πππ5 (2) + πππ5 (3) + πππ5 (4) + lππ5 (5) ] / πππ5 (π₯) = 2
[πππ5 (2) + πππ5 (3) + πππ5 (4) + lππ5 (5) ] = 2 . πππ5 (π₯)
πππ5 (2 x 3 x 4 x 5) = πππ5 (π₯)2
Finalmente, podemos visualizar que
2 x 3 x 4 x 5 = (π₯)2
x = √(2 x 3 x 4 x 5)
x = 2√30
Alternativa correta Γ© a letra a).
Aproveite e continue praticando com uma lista de questΓ΅es de matemΓ‘tica do Vestibular da UECE.
Um forte abraΓ§o e bons estudos.
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