(UECE 2022.1) A soluΓ§Γ£o da equaΓ§Γ£o (π‘™π‘œπ‘”2 (π‘₯)) −1 + (π‘™π‘œπ‘”3 (π‘₯)) −1 + (π‘™π‘œπ‘”4 (π‘₯)) −1 + (π‘™π‘œπ‘”5 (π‘₯)) −1 = 2 Γ©

a) 2√30.  b) 3 √10.  c) 2 √10.  d) 3√30.


SoluΓ§Γ£o: questΓ£o de matemΓ‘tica do Vestibular da Universidade Estadual do CearΓ‘ (UECE) 2022.1, prova de conhecimentos gerais da 1Βͺ Fase, aplicada no dia 15/11/2021.

Para resolvermos essa equaΓ§Γ£o logarΓ­tmica, vamos adotar como estratΓ©gia, mudar as bases dos trΓͺs primeiros logaritmos para a base 5.  Note que o 4° logaritmo jΓ‘ estΓ‘ na base 5.  Fazendo isso, teremos todos eles na mesma base.

Como fazer a mudanΓ§a de base em logaritmos?


Para mudarmos loga b para uma base c devemos utilizar a seguinte estrutura:


Por exemplo, π‘™π‘œπ‘”2 (π‘₯) na base 5 serΓ‘ igual a  

π‘™π‘œπ‘”5 (π‘₯) / π‘™π‘œπ‘”5 (2)

JΓ‘ π‘™π‘œπ‘”3 (π‘₯) na base 5 serΓ‘ igual a 

π‘™π‘œπ‘”5 (π‘₯) / π‘™π‘œπ‘”5 (3)

E finalmente,  π‘™π‘œπ‘”4 (π‘₯) na base 5 serΓ‘ igual a 

π‘™π‘œπ‘”5 (π‘₯) / π‘™π‘œπ‘”5 (4)

Vamos atualizar a equaΓ§Γ£o logarΓ­tmica com estes logaritmos na base 5:

(π‘™π‘œπ‘”2 (π‘₯)) −1 + (π‘™π‘œπ‘”3 (π‘₯)) −1 + (π‘™π‘œπ‘”4 (π‘₯)) −1 + (π‘™π‘œπ‘”5 (π‘₯)) −1 = 2 
(π‘™π‘œπ‘”5 (π‘₯) / π‘™π‘œπ‘”5 (2)−1 + (π‘™π‘œπ‘”5 (π‘₯) / π‘™π‘œπ‘”5 (3)−1 + (π‘™π‘œπ‘”5 (π‘₯) / π‘™π‘œπ‘”5 (4)−1 + (π‘™π‘œπ‘”5 (π‘₯)) −1 = 2 

Lembre-se que (a/b)−1 = (b/a)

(π‘™π‘œπ‘”5 (2) / π‘™π‘œπ‘”5 (π‘₯)) + (π‘™π‘œπ‘”5 (3) / π‘™π‘œπ‘”5 (π‘₯)) + (π‘™π‘œπ‘”5 (4) / π‘™π‘œπ‘”5 (π‘₯)) + ( 1 / π‘™π‘œπ‘”5 (π‘₯)) = 2 

Atente para o fato de que 

 1 / π‘™π‘œπ‘”5 (π‘₯)  =  π‘™π‘œπ‘”5 (5) / lπ‘œπ‘”5 (π‘₯)

Isto porque 1 = lπ‘œπ‘”5 (5)

(π‘™π‘œπ‘”5 (2) / π‘™π‘œπ‘”5 (π‘₯)) + (π‘™π‘œπ‘”5 (3) / π‘™π‘œπ‘”5 (π‘₯)) + (π‘™π‘œπ‘”5 (4) / π‘™π‘œπ‘”5 (π‘₯)) + (lπ‘œπ‘”5 (5) / π‘™π‘œπ‘”5 (π‘₯)) = 2 

Agora, podemos perceber que todas as fraΓ§Γ΅es possuem o denominador π‘™π‘œπ‘”5 (π‘₯), sendo assim, para somarmos essas 4 fraΓ§Γ΅es, basta repetir esse denominador e somar os numeradores.

[π‘™π‘œπ‘”5 (2) + π‘™π‘œπ‘”5 (3) + π‘™π‘œπ‘”5 (4) + lπ‘œπ‘”5 (5) ] / π‘™π‘œπ‘”5 (π‘₯) = 2 
[π‘™π‘œπ‘”5 (2) + π‘™π‘œπ‘”5 (3) + π‘™π‘œπ‘”5 (4) + lπ‘œπ‘”5 (5) ] = 2 . π‘™π‘œπ‘”5 (π‘₯)
π‘™π‘œπ‘”5 (2 x 3 x 4 x 5) π‘™π‘œπ‘”5 (π‘₯)2

Finalmente, podemos visualizar que 

2 x 3 x 4 x 5 = (π‘₯)2
x = √(2 x 3 x 4 x 5)
x = 2√30

Alternativa correta Γ© a letra a).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questΓ΅es de matemΓ‘tica do Vestibular da UECE.

Um forte abraΓ§o e bons estudos.