(UECE 2022.1) A solução da equação (𝑙𝑜𝑔2 (𝑥)) −1 + (𝑙𝑜𝑔3 (𝑥)) −1 + (𝑙𝑜𝑔4 (𝑥)) −1 + (𝑙𝑜𝑔5 (𝑥)) −1 = 2 é
a) 2√30. b) 3 √10. c) 2 √10. d) 3√30.
Solução: questão de matemática do Vestibular da Universidade Estadual do Ceará (UECE) 2022.1, prova de conhecimentos gerais da 1ª Fase, aplicada no dia 15/11/2021.
Para resolvermos essa equação logarítmica, vamos adotar como estratégia, mudar as bases dos três primeiros logaritmos para a base 5. Note que o 4° logaritmo já está na base 5. Fazendo isso, teremos todos eles na mesma base.
Como fazer a mudança de base em logaritmos?
Para mudarmos loga b para uma base c devemos utilizar a seguinte estrutura:
Por exemplo, 𝑙𝑜𝑔2 (𝑥) na base 5 será igual a
𝑙𝑜𝑔5 (𝑥) / 𝑙𝑜𝑔5 (2)
Já 𝑙𝑜𝑔3 (𝑥) na base 5 será igual a
𝑙𝑜𝑔5 (𝑥) / 𝑙𝑜𝑔5 (3)
E finalmente, 𝑙𝑜𝑔4 (𝑥) na base 5 será igual a
𝑙𝑜𝑔5 (𝑥) / 𝑙𝑜𝑔5 (4)
Vamos atualizar a equação logarítmica com estes logaritmos na base 5:
(𝑙𝑜𝑔2 (𝑥)) −1 + (𝑙𝑜𝑔3 (𝑥)) −1 + (𝑙𝑜𝑔4 (𝑥)) −1 + (𝑙𝑜𝑔5 (𝑥)) −1 = 2
(𝑙𝑜𝑔5 (𝑥) / 𝑙𝑜𝑔5 (2)) −1 + (𝑙𝑜𝑔5 (𝑥) / 𝑙𝑜𝑔5 (3)) −1 + (𝑙𝑜𝑔5 (𝑥) / 𝑙𝑜𝑔5 (4)) −1 + (𝑙𝑜𝑔5 (𝑥)) −1 = 2
Lembre-se que (a/b)−1 = (b/a)
(𝑙𝑜𝑔5 (2) / 𝑙𝑜𝑔5 (𝑥)) + (𝑙𝑜𝑔5 (3) / 𝑙𝑜𝑔5 (𝑥)) + (𝑙𝑜𝑔5 (4) / 𝑙𝑜𝑔5 (𝑥)) + ( 1 / 𝑙𝑜𝑔5 (𝑥)) = 2
Atente para o fato de que
1 / 𝑙𝑜𝑔5 (𝑥) = 𝑙𝑜𝑔5 (5) / l𝑜𝑔5 (𝑥)
Isto porque 1 = l𝑜𝑔5 (5)
(𝑙𝑜𝑔5 (2) / 𝑙𝑜𝑔5 (𝑥)) + (𝑙𝑜𝑔5 (3) / 𝑙𝑜𝑔5 (𝑥)) + (𝑙𝑜𝑔5 (4) / 𝑙𝑜𝑔5 (𝑥)) + (l𝑜𝑔5 (5) / 𝑙𝑜𝑔5 (𝑥)) = 2
Agora, podemos perceber que todas as frações possuem o denominador 𝑙𝑜𝑔5 (𝑥), sendo assim, para somarmos essas 4 frações, basta repetir esse denominador e somar os numeradores.
[𝑙𝑜𝑔5 (2) + 𝑙𝑜𝑔5 (3) + 𝑙𝑜𝑔5 (4) + l𝑜𝑔5 (5) ] / 𝑙𝑜𝑔5 (𝑥) = 2
[𝑙𝑜𝑔5 (2) + 𝑙𝑜𝑔5 (3) + 𝑙𝑜𝑔5 (4) + l𝑜𝑔5 (5) ] = 2 . 𝑙𝑜𝑔5 (𝑥)
𝑙𝑜𝑔5 (2 x 3 x 4 x 5) = 𝑙𝑜𝑔5 (𝑥)2
Finalmente, podemos visualizar que
2 x 3 x 4 x 5 = (𝑥)2
x = √(2 x 3 x 4 x 5)
x = 2√30
Alternativa correta é a letra a).
Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática do Vestibular da UECE.
Um forte abraço e bons estudos.
