(UECE 2022.2) Um triângulo retângulo, ao girar em torno de um dos catetos, gera um cone. Ao girar em torno da hipotenusa, gera dois cones ligados pela base, que é a mesma para ambos os cones. Se a medida da hipotenusa do triângulo é 5 cm e a medida de um dos catetos é 3 cm, esse triângulo, ao girar em torno da hipotenusa, gera um sólido (união de dois cones) cuja medida do volume, em cm³ , é

a) 14π/3.
b) 24π/5.
c) 48π/3.
d) 48π/5.

Solução: questão de matemática do Vestibular da Universidade Estadual do Ceará (UECE) 2022.2, prova de conhecimentos gerais da 1ª Fase, aplicada no dia 01/05/2022.

Uma questão muito interessante de geometria espacial (sólidos de revolução e volume do cone) que também requer conhecimentos de geometria plana (relações métricas no triângulo retângulo).  Vamos resolver essa questão passo a passo, em primeiro lugar, vamos ilustrar o triângulo retângulo ABC.



Se a hipotenusa vale 5 cm e um dos catetos vale 3 cm, então, obrigatoriamente, o outro cateto vale 4cm.  Você pode confirmar isso por meio do Teorema de Pitágoras, ou simplesmente visualizando que estamos diante de um triângulo retângulo com medidas proporcionais a 3, 4 e 5.  

Para resolver essa questão, vamos precisar calcular a altura relativa à hipotenusa (segmento BD) usando as relações métricas no triângulo retângulo.  Vamos precisar desta medida, pois ela será igual ao raio da base dos cones gerados.

AC x BD = AB x BC
5 x BD = 3 x 4
BD = 12/5 cm

Na figura a seguir, note que ao girarmos esse triângulo em torno de sua hipotenusa, nós formaremos dois cones com a mesma base de formato circular cujo raio tem medida igual a BD, ou seja, o raio vale 12/5 cm. Perceba também que esses dois cones possuem altura h1 e h2.  


Veja a seguir uma figura ilustrativa dos dois cones com um corte feito no segmento de reta BB'.


Já podemos visualizar uma relação muito importante: a soma das alturas dos dois cones gerados é igual à hipotenusa do triângulo ABC.

h1 + h2 = hipotenusa do triângulo ABC
h1 + h2 = 5  

Nosso objetivo é encontrar a soma do volume dos dois cones.  Sabemos que a fórmula do volume do cone (Vc) é dada por:

Vc = (1/3) . Sb . h

Onde Sb é a área da base do cone e h é a altura do cone.  Ora, já sabemos que a área da base é a mesma para ambos e podemos encontrá-la usando a fórmula da área do círculo.

Sb = π x (raio)²
Sb = π x (12/5)²
Sb = 144π/25 cm²

Agora, vamos encontrar a soma dos dois volumes: Vc1 + Vc2.

Vc1 = (1/3) . Sb . h1
Vc2 = (1/3) . Sb . h2

Podemos encontrar h1 e h2 usando o Teorema de Pitágoras, ou simplesmente encontrar h1 e depois aplicar na relação (h1+h2 = 5).  Entretanto, como o objetivo da questão é encontrar a soma do volume dos dois cones, vamos ver aí na frente que nem precisamos saber quanto vale h1 e h2, basta sabermos que h1 + h2 = 5 e isto será suficiente.  Vamos continuar:

Vc1 + Vc2 = (1/3) . Sb . h1 + (1/3) . Sb . h2
Vc1 + Vc2 = (1/3) . Sb . (h1 + h2)
Vc1 + Vc2 = (1/3) . (144π/25) . (5)
Vc1 + Vc2 = 48π/5 cm³

Alternativa correta é a letra d).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática do Vestibular da UECE.

Um forte abraço e bons estudos.