(Colégio Naval 2022) O número natural X possui as seguintes características: ao ser dividido por 7 deixa resto 4 e ao ser dividido por 17 deixa resto 5.  Assim, qual é o resto da divisão de X por 119?

a) 6
b) 20
c) 39
d) 68
e) 103

Solução: Solução: questão de matemática do Concurso Público de Admissão ao Colégio Naval (CPACN/2022). Prova aplicada no dia 02/07/2022.

Uma questão muito interessante sobre divisores de um número, vamos resolvê-la passo a passo.  Note que X está sendo dividido por 2 números:  17 ( o maior) e 7 ( o menor).  Primeiramente, vamos escrever X em função do maior deles.

X  | 17  
5   | Q1

X = 17 . Q1 + 5   (Equação I)

O que vamos fazer agora é dividir o Q1 por 7.

Q1 |  7  
R     | Q2

Q1 = 7 . Q2 + R    (Equação II)
Atente para o fato de que o R pertence ao conjunto {0,1,2,3,4,5,6}.  Além disso, Q1 e Q2 são números naturais.

O que vamos fazer agora é aplicar a Equação II na Equação I.

X = 17 . (7 . Q2 + R) + 5
X = 17 . 7 . Q2 + 17 . R + 5
X = 119 Q2 + 17R + 5 (Equação III)
Novamente, atente para o fato de que o R pertence ao conjunto {0,1,2,3,4,5,6}.   Qual destes valores para R faria a divisão de X por 7 retornar resto igual a 4?

Note que ao dividir [119 Q2 + 17R + 5]   por 7, a divisão de [119 Q2] por 7 sempre retorna resto igual a 0.  Temos então que focar na divisão de [17R + 5] por 7.

>  R = 0 ; (17R + 5) = 5 e o resto da divisão de 5 por 7 é igual a 5.  (Falsa)
>  R = 1 ; (17R + 5) = 22 e o resto da divisão de 22 por 7 é igual a 1.  (Falsa)
>  R = 2 ; (17R + 5) = 39 e o resto da divisão de 39 por 7 é igual a 4.  Verdadeira!

Vamos aplicar R = 2 na Equação III.

X = 119 Q2 + 17 .2 + 5 
X = 119 Q2 + 34 + 5 
X = 119 Q2 + 39

Chegamos assim para uma expressão final para X, note que se dividirmos X por 119, independentemente do valor de Q2, sempre teremos resto igual a  39.

Alternativa correta é a letra c).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores do Colégio Naval.

Um forte abraço e bons estudos.