(EsPCEx 2022) Dado o polinômio p(x) = (m + 39)x + x³ - 36 - 14x² e sabendo-se que 1 é uma raiz de p(x), é correto afirmar que as outras duas raízes de p(x) são números

[A] inteiros primos.
[B] irracionais.
[C] inteiros quadrados perfeitos.
[D] inteiros cubos perfeitos.
[E] inteiros múltiplos de 5.

Solução: questão de matemática da EsPCEx (Concurso de Admissão à Escola Preparatória de Cadetes do Exército - 2022). Prova aplicada no dia 18/09/2022.

Do enunciado: "sabendo-se que 1 é uma raiz de p(x)", então p(1) = 0.

p(1) = 0 = (m + 39)1 + 1³ - 36 - 14.1²
0 = m + 39 + 1 - 36 - 14
0 = m - 10
m = 10

Sendo assim, p(x) é igual a 

p(x) = (m + 39)x + x³ - 36 - 14x²
p(x) = (10 + 39)x + x³ - 36 - 14x²
p(x) = 49x + x³ - 36 - 14x²

Reorganizando, temos

p(x) = x³ - 14x² + 49x - 36

Como 1 é raiz de p(x), então podemos dividir p(x) por (x-1). O quociente da divisão de p(x) por (x-1) será igual a x² - 13x + 36

** Caso necessário, confira neste artigo como fazer divisão de polinômios.

Agora, vamos obter as raízes do polinômio de grau 2 usando a fórmula de Bhaskara.

Δ = b² - 4ac
Δ = (-13)² - 4(1)(36)
Δ = 169 - 144
Δ = 25

x = (-b ± √Δ) / 2a
x = (-(-13) ± √25) / 2(1)
x = (13 ± 5) / 2

x' = (13 + 5)/2
x' = 18/2
x' = 9

x'' = (13 - 5)/2 
x'' = 8/2 
x'' = 4

Também poderíamos obter essas duas raízes usando as relações de Girard:

Soma das raízes = -b/a = - (-13)/1 = 13
Produto das raízes = c/a = 36/1 = 36

As raízes cuja soma vale 13 e o produto vale 36 são x' = 4 e x'' = 9.  Veja a seguir

4 + 9 = 13
4 x 9 = 36

Finalmente, chegamos a conclusão de que as raízes de p(x) são {1, 4, 9}.  Perceba que 4 e 9 são números inteiros quadrados perfeitos:

4 = 2²
9 = 3²

Sendo assim, a alternativa correta é a letra c).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EsPCEx.

Um forte abraço e bons estudos.