(UFPR 2023) Considere as equações a + b = c²  e  a + b + c = 20.  Assinale a alternativa que corresponde à quantidade de triplas ordenadas (a,b,c) que satisfazem simultaneamente essas duas equações, sendo a, b, c números inteiros positivos.

a) 11.
b) 12.
c) 13.
d) 14.
e) 15.

Solução: questão de matemática do Vestibular da Universidade Federal do Paraná - UFPR 2023 . Prova aplicada no dia 23/10/2022.

Sejam as equações dadas:

I) a + b = c²
II) a + b + c = 20

Na segunda equação, vamos substituir (a + b) por c².

c² + c = 20
c² + c - 20 = 0

Agora, vamos resolver essa equação do segundo grau usando a fórmula de Bhaskara.

Δ = 1² - 4 (1) (-20)
Δ = 1+ 80
Δ = 81
√Δ = √81 = 9

c = (- 1 ± 9)/2.(1)
c = (- 1 ± 9)/2

c1 = (- 1 + 9)/2 = 8/2 = 4
c2 = (- 1 - 9)/2 = -10/2 = -5

O enunciado nos informa que a, b e c são inteiros positivos, logo temos que descartar o -5 e ficamos apenas com a informação de que c = 4.

Agora, vamos trabalhar na equação I, aplicando c = 4.

a + b = c²
a + b = 4²
a + b = 16

Uma vez que a e b são inteiros positivos e sua soma vale 16, então eles só podem assumir os valores que vão de 1 até 15.  Por exemplo, quando a vale 1, o b tem que valer 15, quando a vale 2, o b tem que valer 14, e assim sucessivamente.  Podemos notar aí que existem 15 casos possíveis, veja:

a  | b   | c  
1  | 15 | 4  
2  | 14 | 4 
3  | 13 | 4
4  | 12 | 4
(.............)
14 | 2  | 4 
15 | 1  | 4

Finalmente, podemos concluir que existem 15 triplas ordenadas (a,b,c) que satisfazem simultaneamente às duas equações do enunciado.

Alternativa correta é a letra e).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da UFPR.

Um forte abraço e bons estudos.