(UFPR 2023) Sejam 𝒓 e 𝒔 retas no plano cartesiano que são perpendiculares e se intersectam no ponto (3,3). Sabendo-se que a reta 𝒓 intersecta o eixo 𝒙 no ponto (2,0), assinale a alternativa que corresponde ao valor numérico da área do triângulo delimitado pelas retas 𝒓 e 𝒔 e pelo eixo 𝒙. 

a) 12. b) 15. c) 21. d) 24. e) 30.

Solução: questão de matemática do Vestibular da Universidade Federal do Paraná - UFPR 2023 . Prova aplicada no dia 23/10/2022.

Para resolvermos essa questão de geometria analítica, primeiramente, vamos ilustrar as retas r e s no plano cartesiano.



Para encontrarmos a área desse triângulo, vamos precisar encontrar o valor ilustrado como k, que é a abscissa do ponto B.  Como as duas retas são perpendiculares, então o produto entre seus respectivos coeficientes angulares vale -1.

mr x ms = -1  (Equação I)

Podemos encontrar quanto vale mr por meio dos pontos conhecidos A e C.

mr = (yc - ya ) / (xc - xa)
mr = (3-0) / (3-2)
mr = 3/1
mr = 3

Vamos aplicar este valor na Equação I e obter ms .

3 x ms = -1  
ms = -1/3  

Já sabemos quanto vale ms , agora podemos finalmente encontrar k.

ms = (0-3) / (k-3) = -1/3
-3 . 3 = -1 . (k-3)
-9 = - k + 3
k = 12

Agora, vamos atualizar a figura com as medidas do triângulo ABC.




Finalmente, podemos calcular a área do triângulo ABC usando a fórmula tradicional: 

Área = (base x altura)/2
Área = (10 x 3)/2
Área = (30)/2
Área = 15

Alternativa correta é a letra b).

Curiosidade:  um outro método muito comum em questões de geometria analítica que poderia ser adotado para calcular a área do triângulo (com um pouco mais de trabalho no caso específico desta questão) seria por meio do determinante da matriz das coordenadas dos 3 vértices do triângulo, o qual você pode conferir no artigo a seguir:

>>> Como calcular a área de um triângulo usando determinantes (Geometria Analítica).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da UFPR.

Um forte abraço e bons estudos.