(ENEM 2022) Um parque tem dois circuitos de tamanhos
diferentes para corridas. Um corredor treina nesse
parque e, no primeiro dia, inicia seu treino percorrendo
3 voltas em torno do circuito maior e 2 voltas em torno
do menor, perfazendo um total de 1 800 m. Em seguida,
dando continuidade a seu treino, corre mais 2 voltas
em torno do circuito maior e 1 volta em torno do menor,
percorrendo mais 1 100 m.
No segundo dia, ele pretende percorrer 5 000 m nos
circuitos do parque, fazendo um número inteiro de voltas
em torno deles e de modo que o número de voltas seja o
maior possível.
A soma do número de voltas em torno dos dois circuitos,
no segundo dia, será
A) 10.
B) 13.
C) 14.
D) 15.
E) 16.
Solução: questão de matemática do ENEM 2022, prova aplicada no dia 20/11/2022.
Vamos considerar que o circuito maior possui x metros e o circuito menor possui y metros.
Do enunciado: "inicia seu treino percorrendo 3 voltas em torno do circuito maior e 2 voltas em torno do menor, perfazendo um total de 1 800 m".
3x + 2y = 1800 (Equação I)
Do enunciado: "corre mais 2 voltas em torno do circuito maior e 1 volta em torno do menor, percorrendo mais 1 100 m".
2x + y = 1100 (Equação II)
Para resolver esse sistema linear, vamos isolar y na Equação II e aplicar na Equação I.
y = 1100 - 2x
Aplicando este valor na Equação I encontraremos x.
3x + 2(1100 - 2x) = 1800
3x + 2200 - 4x = 1800
-x = -400
x = 400
E aplicamos este valor de x em qualquer uma das equações, vamos aplicar na segunda.
2. (400) + y = 1100
800 + y = 1100
y = 1100 - 800
y = 300
E podemos concluir, até aqui, que o circuito maior tem 400 metros e o circuito menor tem 300 metros.
Do enunciado: "no segundo dia, ele pretende percorrer 5 000 m nos circuitos do parque, fazendo um número inteiro de voltas em torno deles e de modo que o número de voltas seja o maior possível."
Para maximizar o número de voltas, então vamos colocar a maior quantidade de voltas possíveis no circuito menor. Vamos dividir 5000 metros por 300 metros, que é a medida do circuito menor:
5000 / 300 = 16,6 (aproximadamente)
Precisamos que os números de voltas sejam sempre inteiros, então vamos começar nossos cálculos considerando que serão dadas 16 voltas no circuito menor. Isto vai representar 16 x 300 m = 4800 m. Note que para completar 5000 m ainda faltam (5000-4800) = 200 m. Esta sobra não é um número múltiplo de 400 m (medida do circuito maior). Se tentarmos dividir a sobra de 200 m pela medida do circuito maior que é 400 m não teremos como resultado um número inteiro, que é um dos requisitos do problema.
Relembrando, os múltiplos de 400 são {0, 400, 800, 1200, 1600, .... }
Finalmente, vamos às tentativas:
- 16 x 300 = 4800 | Para atingir 5000 m ainda faltam 200 m que não é múltiplo de 400m
- 15 x 300 = 4500 | Para atingir 5000 m ainda faltam 500 m que não é múltiplo de 400 m
- 14 x 300 = 4200 | Para atingir 5000 m ainda faltam 800 m que é múltiplo de 400 m, então calculamos 800/400 = 2 voltas no circuito maior
Temos então:
- 14 voltas na pista menor de 300 m
- 2 voltas na pista maior de 400 m
O total de voltas é de 14 + 2 = 16 voltas
Alternativa correta é a letra e).
