(ENEM 2022) Um parque tem dois circuitos de tamanhos diferentes para corridas. Um corredor treina nesse parque e, no primeiro dia, inicia seu treino percorrendo 3 voltas em torno do circuito maior e 2 voltas em torno do menor, perfazendo um total de 1 800 m. Em seguida, dando continuidade a seu treino, corre mais 2 voltas em torno do circuito maior e 1 volta em torno do menor, percorrendo mais 1 100 m. 

No segundo dia, ele pretende percorrer 5 000 m nos circuitos do parque, fazendo um número inteiro de voltas em torno deles e de modo que o número de voltas seja o maior possível. 

A soma do número de voltas em torno dos dois circuitos, no segundo dia, será 

A) 10. B) 13. C) 14. D) 15. E) 16.

Solução: questão de matemática do ENEM 2022,  prova aplicada no dia 20/11/2022.

Vamos considerar que o circuito maior possui x metros e o circuito menor possui y metros.

Do enunciado: "inicia seu treino percorrendo 3 voltas em torno do circuito maior e 2 voltas em torno do menor, perfazendo um total de 1 800 m".

3x + 2y = 1800 (Equação I)

Do enunciado: "corre mais 2 voltas em torno do circuito maior e 1 volta em torno do menor, percorrendo mais 1 100 m".

2x + y = 1100  (Equação II)

Para resolver esse sistema linear, vamos isolar y na Equação II e aplicar na Equação I.

y = 1100 - 2x

Aplicando este valor na Equação I encontraremos x.

3x + 2(1100 - 2x) = 1800
3x + 2200 - 4x = 1800
-x = -400
x = 400

E aplicamos este valor de x em qualquer uma das equações, vamos aplicar na segunda.

2. (400) + y = 1100
800 + y = 1100
y = 1100 - 800
y = 300

E podemos concluir, até aqui, que o circuito maior tem 400 metros e o circuito menor tem 300 metros.

Do enunciado: "no segundo dia, ele pretende percorrer 5 000 m nos circuitos do parque, fazendo um número inteiro de voltas em torno deles e de modo que o número de voltas seja o maior possível."

Para maximizar o número de voltas, então vamos colocar a maior quantidade de voltas possíveis no circuito menor.  Vamos  dividir 5000 metros por 300 metros, que é a medida do circuito menor:

5000 / 300 = 16,6 (aproximadamente)

Precisamos que os números de voltas sejam sempre inteiros, então vamos começar nossos cálculos considerando que serão dadas 16 voltas no circuito menor.  Isto vai representar 16 x 300 m = 4800 m.  Note que para completar 5000 m ainda faltam (5000-4800) = 200 m.  Esta sobra não é um número múltiplo de 400 m (medida do circuito maior).  Se tentarmos dividir a sobra de 200 m pela medida do circuito maior que é 400 m não teremos como resultado um número inteiro, que é um dos requisitos do problema.  

Relembrando, os múltiplos de 400 são {0, 400, 800, 1200, 1600, .... }

Finalmente, vamos às tentativas:

  • 16 x 300 = 4800 |  Para atingir 5000 m ainda faltam 200 m que não é múltiplo de 400m
  • 15 x 300 = 4500 | Para atingir 5000 m ainda faltam 500 m que não é múltiplo de 400 m
  • 14 x 300 = 4200  | Para atingir 5000 m ainda faltam 800 m que é múltiplo de 400 m, então calculamos 800/400 = 2 voltas no circuito maior

Temos então: 

  • 14 voltas na pista menor de 300 m 
  • 2 voltas na pista maior de 400 m

O total de voltas é de 14 + 2 = 16 voltas

Alternativa correta é a letra e).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores do ENEM.

Um forte abraço e bons estudos.