(UNICAMP 2023) Três números reais distintos a, b, c são tais que a, b, c e ab, bc, ca formam, nessas ordens, duas progressões aritméticas de mesma razão. O valor do produto abc é

a) 1. b) 1/8. c) −1. d) 6.

Solução: questão de matemática do Vestibular UNICAMP 2023. Prova aplicada no dia 06/11/2022.

Do enunciado, temos que 

a, b, c → PA1 de razão r
ab, bc, ca → PA2 de razão r

Logo, por meio da diferença entre os termos da PA2 , temos as seguintes equações

bc - ab = r  (Equação I)
ca - bc = r  (Equação II)
ca - ab = 2r  (Equação III)

Com estas três equações, mais uma ajuda da PA1, podemos encontrar os valores de a, b e c.

bc - ab = r  (Equação I)
b(c-a) = r

Quanto vale c-a?  Podemos visualizar que vale 2r, por meio da PA1, onde o primeiro termo é o a e o terceiro é o c, logo a diferença entre o terceiro e o primeiro termo vale 2r.

b(c-a) = r
b(2r) = r
2b = 1
b = 1/2


ca - bc = r  (Equação II)
c(a-b) = r

Da PA1, temos que (a - b) = -r

c(a-b) = r
c(-r) = r
-c = 1
c = -1

ca - ab = 2r  (Equação III)
a (c - b) = 2r
a (r) = 2r
a = 2

Finalmente, temos que a . b . c = 2 . (1/2) . (-1) = -1

Alternativa correta é a letra c).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da UNICAMP.

Um forte abraço e bons estudos.