(ENEM 2022 Reaplicação/PPL) Três amigos, A, B e C, se encontraram em um supermercado. Por coincidência, estavam comprando os mesmos itens, conforme o quadro.

Os amigos estavam muito entretidos na conversa e nem perceberam que pagaram suas compras, pegaram seus trocos e esqueceram seus comprovantes. Já longe do supermercado, “A” lembrou que precisava saber o quanto pagou por um quilo de arroz e dois quilos de macarrão, pois estava comprando para sua vizinha e esperava ser ressarcido. “B”, que adorava desafios matemáticos, disse que pagou suas compras com R$ 40,00 e obteve troco de R$ 7,30, e que conseguiria determinar o custo desses itens se os amigos dissessem como pagaram e quanto foram seus respectivos trocos. “A” disse que pagou com R$ 40,00 e obteve troco de R$ 4,00, e “C” pagou com R$ 30,00 e obteve troco de R$ 5,40.

A vizinha de “A” deve a ele pela compra, em reais, o valor de 

A) 8,10.
B) 10,00.
C) 11,40.
D) 12,00.
E) 13,20.

Solução: questão de matemática do ENEM 2022 - Reaplicação/PPL,  prova aplicada no dia 11/01/2023.

Essa é uma questão de sistemas lineares bem interessante.    Vamos utilizar as variáveis a, f e m para designar respectivamente o preço de 1 kg de arroz, preço de 1kg de feijão e preço de 1kg de macarrão.  Perceba que estes valores são positivos, pois designam os preços pagos em um supermercado por tais produtos.  

Antes de aplicar os métodos de resolução de sistemas lineares para encontramos os valores dos preços do quilo de arroz, feijão e macarrão, vamos atentar para o comando da questão

“A” lembrou que precisava saber o quanto pagou por um quilo de arroz e dois quilos de macarrão, pois estava comprando para sua vizinha e esperava ser ressarcido.

( ...)

A vizinha de “A” deve a ele pela compra, em reais, o valor de  


A questão só precisa da seguinte informação:  quanto custa 1 kg de arroz + 2 kg de macarrão?

Ou seja, quanto vale  (a + 2m)  ?

Uma forma de encontrar este valor seria desenvolver um sistema de equações lineares e encontrar os valores de a, f e m e depois calcular (a + 2m).  Dá pra fazer assim, mas será mais trabalhoso.  Antes de partir para este método de resolução, vamos dar uma olhada no quadro do enunciado e ver se conseguimos alguma informação adicional.

Olhando para o quadro, podemos notar que os itens comprados por A foram os mesmos comprados por C, mais uma quantidade de 1 kg de arroz e 2 kg de macarrão. Essa diferença é exatamente o objetivo da questão.  


** Repare que C colocou em seu carrinho de compras e pagou por 2kg de arroz, 2 kg de feijão e 2 kg de macarrão.  Já A colocou essa mesma quantidade e adicionou mais 1 kg de arroz e mais 2 kg de macarrão.  Então a diferença entre a conta de A e de C vai dar exatamente o preço de 1kg de arroz e 2 kg de macarrão que é o objetivo da questão ;)

Neste caso, temos que (a + 2m) = (diferença entre as contas de A e C)

Quanto C pagou no mercado?

 “C” pagou com R$ 30,00 e obteve troco de R$ 5,40.  Logo, a conta de C foi de R$ 24,60.

Quanto A pagou no mercado?

“A” disse que pagou com R$ 40,00 e obteve troco de R$ 4,00.  Logo, a conta de A foi de R$ 36,00.

A diferença das contas de A e C é de (36 - 24,60) = R$ 11,40.  E este é exatamente o valor de 1 kg de arroz + 2 kg de macarrão, pois foi isso que A levou a mais do que C no mercado.

Podemos concluir assim que  (a + 2m) = R$ 11,40

Alternativa correta é a letra c).

Curiosidade: também poderíamos resolver essa questão montando as três equações desse sistema linear. O que daria um pouco mais de trabalho, teríamos o seguinte:

A pagou 40 - 4 = 36
B pagou 40 - 7,30 = 32,70
C pagou 30 - 5,40 = 24,60

E as três equações do sistema linear são:

3a + 2f + 4m = 36
2a + 3f + 3m = 32,70
2a + 2f + 2m = 24,60

Antes de resolver esse sistema e encontrar a, f e m, vamos multiplicar a terceira linha por -1 e somar com a primeira linha.  Veja o resultado:

3a + (-2a) +  2f + (-2f) + 4m + (-2m) = 36 + (-24,60)
a + 2m = 11,40

Antes mesmo de encontrar os valores para a, f e m , nós já temos o objetivo da questão que é o valor da expressão a + 2m = R$ 11,40.  Esse é o valor que a vizinha de A deve a ele pela compra de 1 kg de arroz e 2 kg de macarrão.

Resolvendo esse sistema linear, com um pouco mais de trabalho, chegaríamos nos seguintes valores:

a = R$ 4,20
f = R$ 4,50
m = R$ 3,60

De modo que a + 2m = 4,20 + 2 . (3,60) = 4,20 + 7,20 = 11,40

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores do ENEM.

Um forte abraço e bons estudos.