(UECE 2023.1) Sejam a e b números reais positivos e distintos. Se 0 < a < 1, e, se a função f: ℝ → ℝ é definida por f(x) = bax, então o valor da “soma infinita’’ f(1) + f(2) + f(3) + . . . .  + f(n) + . . . . é

a)  a²b  .
     1-a

b)  ab  .
     1-a

c)  b  .
    1-a

d)  b²  . 
    1-a

Solução: questão de matemática do Vestibular da Universidade Estadual do Ceará (UECE) 2023.1, prova de conhecimentos gerais da 1ª Fase, aplicada no dia 06/11/2022.

Note que pelas informações do enunciado, a soma: f(1) + f(2) + f(3) + .... é a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica (PG) onde o primeiro termo, o qual chamaremos de a1 vale "a.b" e a razão q da PG é igual a "a".

Veja que:

f(1) = b . a¹
f(2) = b . a²
f(3) = b . a³
(....)

Repare também que

f(1) = b . a¹
f(2) = b . a² = b.a.a = f(1).a
f(3) = b . a³ = b.a².a = f(2).a
(...)

A partir do 2º termo, cada termo é igual ao termo anterior multiplicado pela razão a.  Além disso, o enunciado nos informa que 0 < a < 1.  Isto quer dizer que estamos diante da soma dos termos de uma PG infinita, com a1 = a.b e q = a.


Para encontrarmos o valor dessa soma S, basta aplicarmos a fórmula da soma dos termos de uma PG infinita.
 
S =    a1   
        1 - q

Nesta fórmula, devemos aplicar os seguintes valores:

a1 = a.b
q = a

Finalmente, temos que S é igual a:

S =  a . b 
       1 - a

Alternativa correta é a letra b).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática do Vestibular da UECE.

Um forte abraço e bons estudos.