(EEAR CFS 1/2024) Suponha que a função f(t) = (1/2)2t x 100, para todo t real não negativo, indica o percentual de uma medicação presente no corpo de um indivíduo, após t horas de sua aplicação, sendo que o instante t = 0 representa o momento em que a medicação foi aplicada no indivíduo. Assim, o tempo necessário para que reste apenas 1% do medicamento no organismo está entre _____ h e _____ h. 

a) 2 − 3
b) 3 − 4
c) 4 − 5
d) 5 − 6

Solução: questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao Curso de Formação de Sargentos da Aeronáutica CFS 1/2024. Prova aplicada no dia 04/06/2023.

De acordo com o enunciado, o instante t = 0 representa o momento em que a medicação foi aplicada no indivíduo, calculando f(0) temos

f(0) = (1/2)2t x 100
f(0) = (1/2)2.0 x 100
f(0) = (1/2)0 x 100
f(0) = 1 x 100
f(0) = 100

Atenção, no instante da aplicação do medicamento (t=0) o valor de f(0)= 100.    Note que a f(t) é uma função exponencial decrescente, conforme t vai aumentando, o valor de f(t) vai diminuindo.  Queremos saber o tempo necessário para que reste apenas 1% do medicamento no organismo, ou seja, queremos que este valor seja igual a 1.

Obs:  estamos acostumados com 100% = 100/100 = 1  e também  1% = 1/100 = 0,01.  Entretanto, o modo como a função foi estabelecida, aponta que no instante t=0 onde existe 100% da medicação no organismo, o valor de f(0) = 100.  Analogamente, quando f(t) = 25 isso significa pra nós que restará 25% do medicamento aplicado.  Atenção a este detalhe.

Podemos notar que as alternativas de resposta são todas intervalos de tempo, ou seja, a questão só precisa saber em qual intervalo de tempo restará 1% do medicamento, ou seja, dentre os intervalos das alternativas de resposta, em qual deles teremos f(t) = 1 ?

f(t) = 1
(1/2)2t x 100 = 1
(1/2)2t = 1/100

Nós precisamos é que (1/2)2t  seja igual a 1/100

Nós sabemos que (1/2)6 = 1/64  e também (1/2)8 = 1/256.  Isto quer dizer que o valor 1/100 ocorre entre os valores de t = 3 e t = 4.  Vamos confirmar isso com o cálculo de f(3) e f(4)

f(3) = (1/2)2.3 x 100
f(3) = (1/2)6 x 100
f(3) = (1/64) x 100
f(3) = 100/64     {maior do que 1}

Note que após 3 horas, o valor de f(t) ainda é maior do que 1.  Agora, vamos calcular f(4)

f(4) = (1/2)2.4 x 100
f(4) = (1/2)8 x 100
f(4) = (1/256) x 100
f(4) = 100/256   {menor do que 1}

Note que 100/256 é um valor inferior a 1, isto quer dizer que o tempo necessário para que reste apenas 1% do medicamento no organismo é um tempo t que está comprendido entre 3 h e 4 h. 

Alternativa correta é a letra b).

Curiosidade:  você também poderia resolver essa questão utilizando logaritmos, tendo a informação de que log(2) ≈ 0,3

Nosso objetivo é encontrar f(t) = 1

(1/2)2t x 100 = 1
(2-1)2t  = 1/100
2-2t  = 10-2
Aplicamos log nos dois lados da igualdade
log 2-2t  = log 10-2
-2t . log 2 = -2 . log 10
Aplicamos log(2) ≈ 0,3
-2t . (0,3) ≈ -2
-0,60 . t ≈ -2
t ≈ -2 / -0,60
t ≈ 3,333...

Note que assim, encontramos um valor mais aproximado, apenas a título de curiosidade e ilustração, pois o objetivo da questão era apenas identificar um intervalo entre horas.

Como estudo, você pode calcular os valores de f(0), f(1), f(2), f(3) e f(4) e traçar um esboço do gráfico da f(t) para ver o comportamento decrescente dessa função.

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EEAR. 

Um forte abraço e bons estudos.