(EPCAR 2024) Considere as informações a seguir relativas aos números naturais p e q:
• a soma de p e q é 108, com p < q
• o máximo divisor comum (mdc) de p e q é igual a 12
• o produto pq é o maior possível.
A respeito dos números p e q é correto afirmar que
a) √pq é um número racional.
b) p está para q assim como 1 está para 2
c) o mínimo múltiplo comum (mmc) é igual a 240
d) se ambos são medidas dos lados de um triângulo, então o terceiro lado pode medir 108, todos na mesma unidade de medida.
Solução: questão de matemática da
EPCAR (Escola Preparatória de Cadetes do Ar) -
Exame de Admissão ao CPCAR 2024 (prova aplicada no dia 02/07/2023).
Uma questão bem interessante, abordando vários temas da matemática. Primeiramente, vamos descartar a alternativa d) , pois se considerarmos que
p e
q são lados de um triângulo, e que a soma
p + q = 108, então o terceiro lado deveria ser inferior a 108. Você pode revisar na questão a seguir a
condição de existência de triângulos.
A partir de agora, vamos obter os valores de p e q de acordo com as informações do enunciado.
O MDC de p e q é igual a 12, isto quer dizer que podemos escrever p e q da seguinte forma:
p = 12 . a
q = 12 . b
Os números a e b são números primos entre si, ou seja, o MDC de a e b é igual a 1.
Para exemplificar, ao calcular o MDC de 24 e 84, encontramos o MDC = 12, isto porque
24 = 12 x 2
84 = 12 x 7
Note que 2 e 7 são primos entre si, ao calcular o MDC de 2 e 7 você encontrará MDC = 1.
O número 12 é o único fator comum entre 24 e 84.
Essa noção será importante para limitarmos as quantidades de pares (a;b) possíveis.
Além disso, a soma p + q = 108 , com p e q naturais, sendo p < q , então quer dizer que a < b. Perceba também que podemos encontrar um valor para a soma (a+b).
p + q = 108
12a + 12b = 108
12 (a + b) = 108
a + b = 108/12
a + b = 9
Como a e b são números naturais, e a soma deles é um número pequeno, podemos encontrar quais valores de a e b geram o maior produto p x q. Perceba o seguinte:
p x q = 12a . 12b = 144 ab
Note que o maior produto p x q é aquele que possui o maior valor para o produto a x b. O que vamos fazer agora é listar todos os valores para a e seus respectivos valores possíveis para b que são válidos no contexto desse problema, ou seja, com a e b primos entre si.
a | b | a x b
0 | 9
1 | 8 | 8
2 | 7 | 14
3 | 6
4 | 5 | 20
Note que dos pares (a;b) válidos, o que produz o maior valor a x b é o par (4;5), isto quer dizer que os valores de p e q são
p = 12 a = 12 . 4 = 48
q = 12 b = 12 . 5 = 60
Com estes valores, p = 48 e q = 60, vamos julgar as alternativas a), b) e c)
a) √pq é um número racional.
Falsa,
√(pq) = √(24 . 3)(22. 3 . 5)
√(pq) = √(26 . 32. 5)
√(pq) = 23. 3 √5
√(pq) = 24 √5 ( é um número irracional)
Caso queira estudar um pouco mais os números racionais e irracionais, poderá gostar do artigo a seguir:
https://www.wikihow.com/Tell-if-a-Number-Is-Rational-or-Irrational
Acesso realizado em 20/07/2023
b) p está para q assim como 1 está para 2
Falsa, perceba que o número q não representa o dobro de p.
c) o mínimo múltiplo comum (mmc) é igual a 240
Essa alternativa está correta, se você calcular o MMC de 48 e 60, irá encontrar (12 x 4 x 5 = 240)
Alternativa correta é a letra c).
