(UECE 2023.2) Se o produto das raízes da equação x² + n² – 2nx – 64 = 0, onde x é a incógnita e n é constante, é igual a 36, então, a soma dos quadrados destas raízes é igual a 

A) 269. B) 296. C) 328. D) 382.

Solução: questão de matemática do Vestibular da Universidade Estadual do Ceará (UECE) 2023.2, prova de conhecimentos gerais da 1ª Fase, aplicada no dia 30/04/2023.

Primeiramente, vamos escrever a equação do segundo grau no formato:

ax² + bx + c = 0

Reorganizando a equação do enunciado, temos

x² + n² – 2nx – 64 = 0
1.x² + (-2n)x + (n² - 64) = 0

Já está destacado em azul os coeficientes:

a = 1
b = -2n
c = n² - 64

Nesta questão, vamos utilizar as Relações de Girard para soma e produto das raízes de uma equação do segundo grau.

Sejam, r1 e r2 as duas raízes de uma equação do segundo grau, então sabemos que

r1 + r2 = -b/a
r1 . r2 = c/a

Aplicando os valores dos coeficientes a, b e c temos

r1 + r2 = -(-2n)/1 
r1 + r2 = 2n  [equação 1]

r1 . r2 = c/a = (n² - 64)/1 
r1 . r2 = n² - 64 

O enunciado nos informa que o produto das raízes é igual a 36, logo temos que

r1 . r2 =  n² - 64 = 36
n² = 36 + 64
n² = 100  [equação 2]
** Vamos guardar assim por enquanto.

O objetivo da questão é encontrar a soma dos quadrados destas raízes, ou seja, quanto vale (r1)² + (r2)².
Para encontrar este valor, vamos utilizar o seguinte produto notável.

(r1 + r2)² = (r1)² + 2 . r1 . r2 + (r2)²

Vamos isolar (r1)² + (r2)²

(r1)² + (r2)² = (r1 + r2)² - 2 . r1 . r2

Da equação 1, sabemos que r1 + r2 = 2n
E também sabemos que o produto das raízes vale 36.
Vamos aplicá-los nessa equação:

(r1)² + (r2)² = (2n)² - 2 . (36)
(r1)² + (r2)² = 4n² - 72

Finalmente, basta substituir n² por 100, devido à equação 2.

(r1)² + (r2)² = 4n² - 72
(r1)² + (r2)² = 4 . (100) - 72
(r1)² + (r2)² = 328

Alternativa correta é a letra c).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática do Vestibular da UECE.

Um forte abraço e bons estudos.