(UECE 2023.2) Considere as funções reais f : R+ → R e g : R+ → R, onde R+ é o conjunto dos números reais positivos, definidas por f(x) = log2x e g(x) = log3x. Se x1 e x2 são os possíveis valores de x que satisfazem à condição f(x).g(x) = log2 . log3, então, o produto x1.x2 é igual a

A) 1. B) 6. C) 3. D) 2.

Nota: logx indica o logaritmo de x na base 10.
Solução: questão de matemática do Vestibular da Universidade Estadual do Ceará (UECE) 2023.2, prova de conhecimentos gerais da 1ª Fase, aplicada no dia 30/04/2023.

Uma questão bem interessante sobre funções logarítmicas, onde vamos utilizar algumas das propriedades dos logaritmos.

f(x).g(x) = log2 . log3
log2x . log3x = log2 . log3

Aplicando a mudança de base dos logaritmos, podemos reescrever 

log2x  =  logx 
                   log2

log3x  =  logx 
                   log3

Voltando à equação:

 logx  .  logx  = log2 . log3
 log2     log3

(logx)(logx) = (log2)(log2)(log3)(log3)
(logx)2 = (log2)2(log3)2

Agora, vamos substituir logx = y

y² = (log2)2(log3)2
y = ± √[(log2)2(log3)2]
y = ± log2 . log3

Agora, voltamos com logx no lugar de y.

logx = ± log2 . log3

>> Cálculo de x1

logx = log2 . log3
x = 10log2 . log3

>> Cálculo de x2

logx = - log2 . log3
x = 10-(log2 . log3)
x = 1 / 10log2 . log3

Note que x1 e x2 são positivos.  Finalmente, basta aplicar o comando da questão que é calcular o produto x1 . x2 

10log2 . log3.      1             =  1 
                         10log2 . log3  

Alternativa correta é a letra a).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática do Vestibular da UECE.

Um forte abraço e bons estudos.