(UERJ 2020) Tem-se que o número a6a5a4a3a2a1 é divisível por 11, se o valor da expressão (a1 − a2 + a3 − a4 + a5 − a6) também é divisível por 11.

Por exemplo, 178409 é divisível por 11 porque: 

 (9 − 0 + 4 − 8 + 7 − 1 = 11) é divisível por 11.

Considere a senha de seis dígitos 3894xy, sendo x e y pertencentes ao conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Se essa senha forma um número divisível por 99, o algarismo y é igual a: 

(A) 9 (B) 8 (C) 7 (D) 6

Solução: questão de matemática do Vestibular UERJ 2020 (2º Exame de Qualificação), prova aplicada no dia 15/09/2019.

Um questão bem interessante sobre critérios de divisibilidade. Podemos resolver essa questão de diferentes formas.  Uma alternativa bem prática, consiste em dividir 389400 por 99 e analisar o resto dessa divisão.  É possível fazer isso, pois a senha é relativamente pequena.

Podemos notar que o menor número possível para a senha 3894xy é 389400 e o maior número possível é 389499.

Dividindo 389400 por 99 vamos encontrar quociente igual a 3933 e resto igual a 33.  Com isso, podemos perceber que 389400 não é divisível por 99, porém, se subtrairmos 33 unidades dele, ou então se somarmos 66 unidades a ele, chegaremos em um número divisível por 99.  

Não podemos subtrair 33 unidades, pois se fizermos isso a senha vai ficar fora do seu intervalo que vai de 389400 até 389499.  O que podemos fazer é somar a ele 66 unidades, daí o resto da divisão do novo número por 99 será igual a 0 e, além disso, ele estará dentro do intervalo aceitável para a senha.

Logo, a senha em questão é 389400 + 66 = 389466.  Deste modo, temos que x = y = 6.

Alternativa correta é a letra d).

Uma outra alternativa de resolução é a seguinte, vamos chamar a senha 3894xy de S para simplificar os comentários.

Sabemos que quando um número S é divisível por a e S também é divisível por b, sendo os números a e b primos entre si, então S também é divisível pelo produto a x b.

* Dois números a e b são primos entre si quando MDC(a,b) = 1 ;
**  MDC(a,b) é o máximo divisor comum de a e b.

O enunciado diz que S é um número divisível por 99, podemos escrever 99 como sendo 9 x 11, e já podemos notar que 9 e 11 são primos entre si, pois o MDC(9,11) = 1.  Então, S é divisível por 9 e S também é divisível por 11.  Com esta informação, podemos obter os valores para x e y de modo que S seja divisível por 99.

>>  S tem que ser divisível por 11

Aplicando o critério de divisibilidade por 11, fornecido no próprio enunciado, temos


3 8 9 4 x y
a6 a5 a4 a3 a2 a1

Agora, vamos calcular:  

a1 − a2 + a3 − a4 + a5 − a6 

y - x + 4 - 9 + 8 - 3

y - x + 0

y - x

Uma vez que x e y pertencem ao conjunto { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }, a expressão y - x nunca será igual a 11, 22, 33, 44, .... etc.   O único caso possível que nos interessa é y - x = 0 , pois 0 é divisível por 11.  

E aqui chegamos a uma conclusão bem interessante:

y - x = 0
y = x

O valor de y tem que ser igual ao valor de x para que a senha S seja divisível por 11, logo, podemos escrever a senha como sendo simplesmente 3894yy 

>>  S tem que ser divisível por 9

O enunciado não apresentou o critério de divisibilidade por 9, que é o seguinte: um número é divisível por 9 quando a soma dos seus algarismos é divisível por 9.  Vamos somar os algarismos de S.

3 + 8 + 9 + 4 + y + y
24 + 2y

Agora, vamos listar os múltiplos de 9 que são maiores do que 24, são eles { 27, 36, 45, 54, .... }

Note que 24 + 2y = 27 não vai funcionar, pois teremos y não pertencente ao conjunto dado no enunciado, vejamos:

24 + 2y = 27
2y = 27 - 24
2y = 3
y = 3/2  (não pertence)

Na sequência, vamos testar o 36.

24 + 2y = 36
2y = 36 - 24
2y = 12
y = 6   (pertence)

E encontramos assim o valor para y, note que se continuarmos do 45 em diante, também vai falhar:

24 + 2y = 45
2y = 45 - 24
2y = 21
y = 21/2
y = 10,5 (não pertence)

A partir daí, os valores serão sempre superiores a 9, que é o maior valor possível para y no conjunto { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }.

Descobrimos assim que y = 6 e a senha S é igual a 389466 e, da mesma forma como no método anterior, chegamos na alternativa d) como opção correta.

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da UERJ.

Um forte abraço e bons estudos.