(UFPR 2024) Sejam p(x) = x + a  e q(x) = x² - b funções, com a e b números reais.  Sabendo que r = 1/2 é a única raiz da função composta f(x) = q(p(x)), assinale a alternativa que corresponde à soma a + b.

a) -2
b) -1
c) -1/2
d) 1/2
e) 2

Solução: questão de matemática do Vestibular da Universidade Federal do Paraná - UFPR 2024. Prova aplicada no dia 22/10/2023.

Uma questão bem interessante da UFPR sobre funções compostas e funções do segundo grau.

Vamos obter a f(x)

f(x) = q(p(x))
f(x) = (p(x))² - b
f(x) = (x + a)² - b

Podemos notar que f(x) é uma função do segundo grau, e como o enunciado nos informou que ela só possui uma única raiz r = 1/2 , então f(x) é um trinômio do quadrado perfeito, ou seja, o valor de b tem que ser 0.  Eliminando b ficaremos com

f(x) = (x + a)²

Que também pode ser escrita assim

f(x) = (x+a)(x+a)

Note que a f(x) possui uma única raiz real (com multiplicidade 2), que vale

x + a = 0
x = -a

Nós já sabemos que a raiz vale 1/2, então vamos aplicar x = 1/2 na equação acima e obter o valor de a.

1/2 = -a
a = -1/2

E finalmente, a soma a + b = -1/2 + 0 = -1/2

Alternativa correta é a letra c).

Obs:  você pode comprovar isso por meio de uma prova real.

p(x) = x + a
p(x) = x - 1/2

q(x) = x² + b
q(x) = x² + 0
q(x) = x² 

A partir destas, temos que

f(x) = q(p(x))
f(x) = (p(x))²
f(x) = (x - 1/2)²
f(x) = (x - 1/2)(x - 1/2)

Já podemos notar que f(x) só possui uma raiz. 

(x - 1/2)(x - 1/2) = 0
x - 1/2 = 0
x = 1/2 ( que é o valor informado no enunciado)

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da UFPR.

Um forte abraço e bons estudos.