(ENEM 2023) O gerente de uma fábrica pretende comparar a evolução das vendas de dois produtos similares (I e II). Para isso, passou a verificar o número de unidades vendidas de cada um desses produtos em cada mês. Os resultados dessa verificação, para os meses de abril a junho, são apresentados na tabela.

O gerente estava decidido a cessar a produção do produto II no mês seguinte àquele em que as vendas do produto I superassem as do produto II. 

Suponha que a variação na quantidade de unidades vendidas dos produtos I e II se manteve, mês a mês, como no período representado na tabela. 

Em qual mês o produto II parou de ser produzido? 

A) Junho. B) Julho. C) Agosto. D) Setembro. E) Outubro.

Solução: questão de matemática do ENEM 2023,  prova aplicada no dia 12/11/2023.

Podemos notar que a quantidade de vendas do produto I mês a mês está formando uma progressão aritmética PA, com primeiro termo a1 = 80 e razão r = 10.

Analisando o produto II, a quantidade de vendas mês a mês também está formando uma PA com a1 = 190 e r = -20.

De acordo com o enunciado, temos que considerar que a variação na quantidade de unidades vendidas dos produtos I e II se manteve, mês a mês, como no período representado na tabela.  Ou seja, para os meses seguintes (julho, agosto, setembro, ...) as vendas de cada produto vão continuar formando essas respectivas PA's.

Na tabela, podemos notar que no mês de abril, as vendas de I estão bem inferiores às vendas de II.  Além disso, as vendas de I estão aumentando mês a mês, e as vendas de II estão caindo.  Isso nos dá um indicativo de que, em algum mês, as vendas de I vão "ultrapassar" as vendas de II.

Como as duas PA's são bem pequenas e com números "tranquilos" de serem listados, vamos adotar a estratégia de simplesmente completar essa tabela, escrevendo as duas PA's até o mês em que as vendas de I sejam maiores que as vendas de II.  É possível fazer isso aproveitando o espaço disponível ao lado da própria tabela do enunciado.


Note que já paramos no mês de agosto, isto porque o produto I já está vendendo mais do que o produto II.

Do enunciado: "O gerente estava decidido a cessar a produção do produto II no mês seguinte àquele em que as vendas do produto I superassem as do produto II."  

Podemos notar que foi logo no mês de agosto que as vendas do produto I superaram as vendas do produto II.  Portanto, é no mês de setembro, que o gerente vai encerrar a produção do produto II.

Alternativa correta é a letra d).

Obs:  uma vez que a questão teve valores bem pequenos, foi possível listar as duas PA´s e rapidamente identificar o mês em que o produto I passou a vender mais que o II.  Entretanto, quando as questões envolvem números maiores, listar os termos da PA um a um pode se tornar inviável.  Nestes casos, podemos utilizar a fórmula do n-ésimo termo da PA.  

Relembrando a fórmula do n-ésimo termo da PA.

an = a1 + (n-1) . r

Produto I)

an = 80 + (n-1) . 10
an = 80 + 10n - 10
an = 70 + 10n

Produto II)

an = 190 + (n-1) . (-20)
an = 190 -20n + 20
an = 210 - 20n

** O valor de n = 1 equivale ao mês de abril, n = 2 ao mês de maio, e assim sucessivamente.

Nosso objetio é encontrar o valor de n de modo que

70 + 10n > 210 -20n

10n + 20n > 210 - 70
30n > 140
3n > 14
n > 14/3

Sabemos que n tem que ser um número inteiro, o número 14/3 vale 4,666... isto quer dizer que n = 5 é o menor inteiro que satisfaz essa condição.  Ou seja, é no mês n = 5 que as vendas do produto I vão superar as vendas do produto II.  

Qual é o mês n = 5?

n = 1 é abril
n = 2 é maio
n = 3 é junho
n = 4 é julho
n = 5 é agosto

Portanto, a produção do produto II será encerrada no mês de setembro.

Curiosidade: se você aplicar n = 5 nas duas equações verá que:

70 + 10n > 210 -20n
70 + 10.5 > 210 -20.5
70 + 50 > 210 -100
120 > 110

Estes dois valores são os mesmos do mês de agosto da tabela que completamos no método anterior.

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores do ENEM.

Um forte abraço e bons estudos.