(ENEM 2023) O triângulo da figura é denominado triângulo mágico.
Nos círculos, escrevem-se os números de 1 a 6, sem
repetição, com um número em cada círculo. O objetivo é
distribuir os números de forma que as somas dos números
em cada lado do triângulo sejam iguais.
Considere que os números colocados nos vértices
do triângulo estejam em progressão aritmética de razão
igual a 2.
Nas condições propostas, quais as possíveis soluções
para as somas dos números que formam os lados do
triângulo?
A) Há somente uma solução possível, e as somas em
cada lado do triângulo são iguais a 7.
B) Há somente uma solução possível, e as somas em
cada lado do triângulo são iguais a 9.
C) Há somente duas soluções possíveis, uma em que
as somas em cada lado do triângulo são iguais a 7 e
outra em que as somas são iguais a 9.
D) Há somente duas soluções possíveis, uma em que
as somas em cada lado do triângulo são iguais a 9 e
outra em que as somas são iguais a 12.
E) Há somente duas soluções possíveis, uma em que
as somas em cada lado do triângulo são iguais a 10 e
outra em que as somas são iguais a 11.
Solução: questão de matemática do ENEM 2023, prova aplicada no dia 12/11/2023.
Utilizando os números 1, 2, 3, 4, 5 e 6 sem repetição, é possível formar duas PA´s com razão igual a 2 e com 3 elementos que serão posicionados nos 3 vértices do triângulo. São elas:
1, 3, 5
2, 4, 6
Vamos escrever a primeira PA {1,3,5} nos vértices do triângulo e obter a solução.
Nos espaços em branco, precisamos adicionar os números restantes, são eles 2, 4 e 6. Vamos fazer isso de forma equilibrada, colocando o maior deles, que é o 6, entre os dois vértices cuja soma dá o menor valor, são eles 1 e 3. Com isso, a soma desse lado será 1 + 6 + 3 = 10.
Já entre os dois vértices cuja soma dá o maior valor, são eles, 3 e 5, vamos colocar o número disponível de menor valor, que é o 2. Com isso, a soma desse lado será 3 + 2 + 5 = 10.
Só vai sobrar um círculo para colocar o número 4, que ficará entre os vértices 1 e 5 e a soma desse lado será 1 + 4 + 5 = 10. Fazendo isso, é possível igualar as somas nos três lados do triângulo.
A figura acima é uma solução onde a soma dos três lados vale 10. Se trocarmos as posições dos números 6,4,2 entre eles, as somas dos lados não serão iguais. Assim, guardamos a informação de que há uma solução em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 10.
Lendo as alternativas de resposta, já podemos eliminar as alternativas (a), (b), (c) e (d) e marcar letra (e), além disso, a partir dela, ganhamos uma indicação de que há uma outra solução cuja soma dos lados é igual a 11. Para confirmar isso, vamos obter essa solução com os números da PA {2, 4, 6} ocupando os vértices do triângulo. Vamos adotar a mesma estratégia anterior para preencher os valores entre eles. O resultado final será a figura a seguir.
Nos três lados, a soma é igual a 11. Se trocarmos as posições dos números 5,3,1 entre eles, as somas não serão iguais. Assim, confirmamos que há uma solução possível em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 11.
Alternativa correta é a letra E) Há somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 10 e outra em que as somas são iguais a 11.
