(EsPCEx 2023) Considere as circunferências λ1: x² + y² -2x -4y + 1 = 0 e λ2: x² + y² + 4x - 10y + 13 = 0.  Qual a posição relativa de λ1 e λ2 ?

a) Uma interior à outra.
b) Tangentes interiormente.
c) Exteriores.
d) Tangentes exteriormente.
e) Secantes.

Solução: questão de matemática da EsPCEx (Concurso de Admissão à Escola Preparatória de Cadetes do Exército - 2023). Prova aplicada no dia 17/09/2023.

Para obtermos a posição relativa entre as duas circunferências, em primeiro lugar, vamos obter as coordenadas dos centros e as medidas dos raios.

λ1: x² + y² -2x -4y + 1 = 0
x² - 2x + 1 + y² - 4y + 4 = -1 +1 + 4
(x - 1)² + (y-2)² = 4 = 2²
Centro1 = (1,2) e R1 = 2

λ2: x² + y² + 4x - 10y + 13 = 0
x² + 4x + 4 + y² - 10y + 25  = -13 + 4 + 25
(x + 2)² + (y - 5)² = 16 = 4²
Centro2 = (-2,5) e R2 = 4

  • A soma dos raios vale 2 + 4 = 6
  • A diferença entre o raio maior e o raio menor vale 4 - 2 = 2

Agora, vamos obter a distância D entre os centros das duas circunferências.

D = √[(-2-1)² + (5-2)²]
D = √(9 + 9)
D = √(2.9)
D = 3√2 ≅ 4,2

Podemos notar que a distância D entre os centros das duas circunferências é um valor compreendido entre a diferença entre os raios maior e menor e a soma dos raios.

2 < D < 6  

Logo, as duas circunferências são secantes, ou seja, possuem dois pontos de interseção.

Alternativa correta é a letra e).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EsPCEx.

Um forte abraço e bons estudos.