(EsPCEx 2023) Dado o sistema:

{ 10x + 50y +30z = 300
20x + 140y +80z = 500

Sendo x, y, z ∈ ℝ , então o valor de x + y + z é igual a:

a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60

Solução: questão de matemática da EsPCEx (Concurso de Admissão à Escola Preparatória de Cadetes do Exército - 2023). Prova aplicada no dia 17/09/2023.

Na primeira equação, vamos dividir os dois lados da igualdade por 10.

10x + 50y +30z = 300
               10                    10

x + 5y + 3z = 30  [Equação I]

Na segunda equação, vamos dividir os dois lados da igualdade por 20.

20x + 140y +80z = 500
               20                        20

x + 7y + 4z = 25   [Equação II]

Agora, vamos multiplicar a Equação I por -1 e somar com a Equação II.

-x - 5y - 3z + x + 7y + 4z  = -30 + 25
2y + z = -5
z = - 2y - 5

Agora, vamos aplicar (-2y - 5) no lugar de z na Equação I.

x + 5y + 3(- 2y - 5) = 30 
x + 5y - 6y - 15 = 30
x - y = 30 + 15
x = y + 45

E chegamos à seguinte solução para o sistema:  

(x, y, z) = (y + 45, y, - 2y - 5)

A soma x + y + z é igual a 

y + 45 +  y + (- 2y - 5)
2y - 2y + 45 -5
40

Alternativa correta é a letra c).

Curiosidade:  neste sistema, podemos obter x + y + z sem obter a solução.  Vamos escrever as equações I e II  separando x + y + z .

x + y + z + 4y + 2z = 30   [Eq I]
x + y + z + 6y + 3z = 25   [Eq II]

Para simplificar, vamos atribuir a x + y + z o valor de R .

R + 2(2y + z) = 30   [Eq I]
R + 3(2y + z) = 25   [Eq II]

Nas duas equações, vamos manter 2y + z no primeiro membro.

2y + z = (30 - R)/2   [Eq I]
2y + z = (25 - R)/3   [Eq II]

Agora, basta resolver

30 - R = 25 - R
    2               3

90 - 3R = 50 - 2R

R =  40

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EsPCEx.

Um forte abraço e bons estudos.