(EsPCEx 2023) Em relação ao polinômio p: ℂ → ℂ dado por p(x) = 2x4 -3x3 + 3x2 - 3x + 1, pode-se afirmar que:

a) possui 1 raiz inteira, 1 irracional e 2 complexas não reais.
b) possui 1 raiz inteira, 1 racional não inteira e 2 complexas não reais.
c) possui 2 raízes racionais e 2 irracionais.
d) possui somente raízes inteiras.
e) possui 1 raiz inteira e 3 racionais não inteiras.

Solução: questão de matemática da EsPCEx (Concurso de Admissão à Escola Preparatória de Cadetes do Exército - 2023). Prova aplicada no dia 17/09/2023.

Analisando p(x), podemos notar que x = 1 é uma de suas raízes.

2.14 - 3.13 + 3.12 - 3.1 + 1
2 - 3 + 3 - 3 + 1
0

Agora, vamos dividir p(x) por (x-1).  Caso necessário, revise neste artigo como fazer divisão de polinômios.

O resto da divisão é igual a 0 e o quociente é o polinômio 2x3 - x2 + 2x - 1

Deste modo, p(x) pode ser escrito da seguinte forma:

p(x) = (x-1)(2x3 - x2 + 2x - 1)

O que vamos fazer agora é fatorar 2x3 - x2 + 2x - 1

2x3 - x2 + 2x - 1
x²(2x -1) + 2x - 1
x²(2x -1) + (2x - 1) . 1
(2x - 1) (x² + 1)

Agora, p(x) pode ser escrito na forma

p(x) = (x-1)(2x - 1)(x² + 1)

Queremos encontrar as raízes de p(x), logo precisamos igualar p(x) = 0

(x-1)(2x - 1)(x² + 1) = 0

Para que p(x) seja igual a 0, precisamos que 

(x-1) = 0 ou (2x-1)=0 ou (x² + 1) = 0

A primeira equação tem a solução x = 1 que já tínhamos identificado no início da resolução.

A segunda equação tem a seguinte solução:

2x - 1 = 0
2x = 1
x = 1/2

A terceira equação terá duas soluções complexas, isto já é suficiente para identificarmos que a letra (b) é a alternativa correta.  Para fins de estudos, vamos obter essas raízes.

x² + 1 = 0
x² = -1
x = ± √-1
x = ± i

Podemos concluir que p(x) possui 
  • 1 raiz inteira,  x = 1 
  • 1 racional não inteira,  x = 1/2 
  • 2 complexas não reais,  x = ± i

Alternativa correta é a letra b).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EsPCEx.

Um forte abraço e bons estudos.