(EsPCEx 2023) Sabendo que x ∈ [0, 2π], o número de soluções da equação 

cos ( 3x -  π  )   =  0     é igual a:
           4

a) 2  b) 3  c) 4  d) 5  e) 6

Solução: questão de matemática da EsPCEx (Concurso de Admissão à Escola Preparatória de Cadetes do Exército - 2023). Prova aplicada no dia 17/09/2023.

Inicialmente, vamos substituir o ângulo  3x - π/4  pelo ângulo α.

Deste modo, vamos ter

cos α = 0

Logo, 

α = π/2 + kπ  ;  k ∈ ℤ

Agora, vamos igualar

3x - π/4  = π/2 + kπ

Vamos dividir os dois membros por 3

x - π/12  = π/6 + kπ/3
x = (π/12) +  (2π/12) + kπ/3
x = (3π/12) + kπ/3
x = (π/4) + k (π/3)   ;  k ∈ ℤ

Que também pode ser escrito assim

x = 45° + k . 60°   ;  k ∈ ℤ

O enunciado estabelece que x ∈ [0, 2π] , ou seja, x ∈ [0, 360°].

Logo, temos que 

0 ≤ 45° + k.60° ≤ 360°

45° + k.60°≥0  e  45° + k.60°≤ 360°

Na inequação em azul, já é possível notar que k ≥ 0, mas vamos resolvê-la.
45° + k.60°≥0
k . 60° ≥ -45°
k ≥ -45°/60°
k ≥ -3/4
k ∈ ℤ, então k ≥ 0

Resolvendo a inequação em vermelho
45° + k.60°≤ 360°
k.60°≤ 360° - 45°
k.60°≤ 315°
k ≤ 315°/60°
Sabemos que 315°/60° é um valor maior do que 5.
k ∈ ℤ, então k ≤ 5

Podemos notar que 0 ≤ k ≤ 5

Como k é inteiro, existem 6 valores possíveis para k, são eles {0,1,2,3,4,5}.  Podemos concluir que uma vez que x ∈ [0, 2π] a equação cos (3x - π/4)  = 0 tem  6 soluções.

Alternativa correta é a letra e).

Curiosidade:  durante a prova você não precisa listar as 6 soluções, basta identificar que existem 6.  A título de curiosidade, vamos listá-las.

x = 45° + k . 60°  

Vamos atribuir a k os valores 0,1,2,3,4,5.

k = 0 || x = 45°
k = 1 || x = 105°
k = 2 || x = 165°
k = 3 || x = 225°
k = 4 || x = 285°
k = 5 || x = 345°

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EsPCEx.

Um forte abraço e bons estudos.