(UECE 2024.2)  Os valores de x entre 0 e 2π que satisfazem a igualdade sen2x = senx são a) π/3, 2π/3, 4π/3. b) π/4, 2π/3, 4π/5. c) π/3, π, 5π/3. d) π/5, 2π/3, 4π/7. Solução:  questão de matemática do Vestibular da Universidade Estadual do Ceará (UECE) 2024.2,  prova de conhecimentos gerais da 1ª Fase, aplicada em 28/04/2024. sen2x = senx sen2x - senx = 0 Para resolver essa equação trigonométrica, vamos substituir sen2x por 2·senx·cosx 2·senx·cosx - senx = 0 Colocar senx em evidência senx(2cosx - 1) = 0 senx = 0 ou 2cosx - 1 = 0 Agora, vamos trabalhar nessas equações separadamente: senx = 0 Entre 0 e 2π, o  senx vale zero quando x =  π 2cosx - 1 = 0 2cosx = 1 cosx = 1/2 Entre 0 e 2π, o cosx vale 1/2 em duas ocasiões, são elas: > no primeiro quadrante, quando x = 60°, cujo valor em radianos é  x = π/3 > no quarto quadrante, quando x = 2π - π/3 = 5π/3 Podemos concluir que  os valores de x entre 0 e 2π que satis...

( EsPCEx 2023 )  Sabendo que x ∈ [0, 2π], o número de soluções da equação  cos ( 3x -   π  )   =  0     é igual a:            4 a) 2  b) 3  c) 4  d) 5  e) 6 Solução:  questão de matemática da  EsPCEx (Concurso de Admissão à Escola Preparatória de Cadetes do Exército - 2023) . Prova aplicada no dia 17/09/2023. Inicialmente, vamos substituir o ângulo  3x - π/4  pelo ângulo α. Deste modo, vamos ter cos α = 0 Logo,  α = π/2 + kπ  ;  k ∈ ℤ Agora, vamos igualar 3x - π/4  = π/2 + kπ Vamos dividir os dois membros por 3 x - π/12  = π/6 + kπ/3 x = (π/12) +  (2π/12) + kπ/3 x = (3π/12) + kπ/3 x = (π/4) + k (π/3)   ;  k ∈ ℤ Que também pode ser escrito assim x = 45° + k . 60°   ;  k ∈ ℤ O enunciado estabelece que x ∈ [0, 2π] , ou seja, x ∈ [0,...

(UECE 2023.2)  Na trigonometria circular usual, considere os valores dos arcos x para os quais existem e estão bem definidas a tangente, a cotangente, a secante e a cossecante. Em relação à equação trigonométrica tg²x + cotg²x = sec²x + cossec²x, é correto afirmar que A) possui uma única solução real. B) possui exatamente duas soluções reais. C) possui infinitas soluções reais. D) não possui solução real. Solução:  questão de matemática do Vestibular da Universidade Estadual do Ceará (UECE) 2023.2,  prova de conhecimentos gerais da 1ª Fase, aplicada no dia 30/04/2023. Analisando esta equação, podemos perceber o seguinte: tg²x + cotg²x = sec²x + cossec²x sen²x  +  cos²x   =     1     +     1    cos²x    sen²x      cos²x   sen²x Repare que não podemos ter senx = 0 e nem o cosx = 0, pois teremos uma divisão por zero.  Vamos guardar essa informação assim por ...

(EEAR CFS 1/2024)  Se 2π rad ≤ x ≤ 4π rad e se sen x = √3/2 , então os possíveis valores de x somam ______π rad.  a) 3 b) 5 c) 3/2 d) 5/2 Solução:  questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao Curso de Formação de Sargentos da Aeronáutica CFS 1/2024 . Prova aplicada no dia 04/06/2023. O enunciado estabelece que sen x = √3/2 , note que é um valor positivo, sabemos que o sen x é positivo no primeiro e no segundo quadrante do ciclo trigonométrico. Sabemos também que quando x = 60° , o seno de 60° = √3/2 * Caso necessário, você pode fazer uma revisão da tabela trigonométrica com ângulos notáveis entrando por aqui . Sabemos que também existe um ângulo α no segundo quadrante, cujo seno dele é igual a √3/2 ,  este ângulo é o 120°, pois ao realizarmos a redução de α para o primeiro quadrante, temos que 180° - α = 60° α = 180° - 60° α = 120° Ou seja, sen (60°) = sen (120°) = √3/2 Convertendo os ângulos 60° e 120° par...

(Escola de Aprendizes-Marinheiros 2019) Sendo x real tal que senx = (m-1)/2 e cosx = (m+1)/2.  Determine o conjunto dos valores de "m" e assinale a opção correta. a) {-√2, +√2} b) {-1, +1} c) {-2, +2} d) ℝ e) Ø Solução:  questão de matemática do Concurso Público de Admissão às Escolas de Aprendizes-Marinheiros/CPAEAM/2019,  prova do dia 14/04/2019. Para resolvermos essa questão, utilizaremos a seguinte identidade trigonométrica: sen²x + cos²x = 1 [(m-1)/2]² + [(m+1)/2]² = 1 [ (m² -2m +1) /4 ]  + [ (m² +2m + 1) / 4 ] =  4/4 (m² -2m +1) + (m² +2m + 1) = 4 2m² + 2 = 4 2m² = 2 m² = 1 m = ±√1 m = ± 1 Alternativa correta é a letra b). Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática do concurso de admissão às Escolas de Aprendizes-Marinheiros.   Um forte abraço e bons estudos.

(UFPR 2022)  Considere a seguinte matriz: Assinale a alternativa que corresponde à soma dos valores de θ ∈   [0, π] que satisfazem det A = -13. a) π/4 b) 2π/3 c) 3π/4 d) 2π e) 4π Solução:  questão de matemática  do Vestibular UFPR 2022,  prova do dia 13/02/2022. Uma questão bem rica sobre determinantes e identidades trigonométricas.  Em primeiro lugar, vamos calcular o det A e igualar a -13.  Para encontrar este determinante, vamos usar a regra de Sarrus.  - ( -7senθcosθ + 13 sen²θ + 7 cos²θ) + (7senθcosθ + 7sen²θ - 13 cos²θ)  7senθcosθ - 13 sen²θ - 7 cos²θ + 7senθcosθ + 7sen²θ - 13 cos²θ Agora, vamos re-organizar e simplificar  7senθcosθ + 7senθcosθ - 13 sen²θ - 13 cos²θ - 7 cos²θ  + 7sen²θ   14senθcosθ - 13 (sen²θ + cos²θ) - 7 (cos²θ  - sen²θ) Sabemos que sen²θ + cos²θ = 1  14senθcosθ - 13 (1) - 7 (cos²θ  - sen²θ)  7 . 2senθcosθ - 13 - 7 (cos²θ  - sen²θ) Sa...

(EEAR CFS 2/2022) Os valores que satisfazem a equação 3 tg (x/2) - √3 = 0 , para x ∈ [0, 4π], são a) { π/3 , 7π/3 } b) { π/6 , 7π/6 } c) { π/3 , 5π/3 } d) { π/6 , 5π/6 } Solução:  questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 2/2022. Prova aplicada no dia 14/11/2021. Resolvendo a equação trigonométrica: 3 tg (x/2) - √3 = 0 tg (x/2) = (√3)/3 Dica: vamos substituir x/2 por θ. tg (θ) = (√3)/3 Qual é o ângulo θ cuja tangente vale  (√3)/3? Sabemos que θ = 30° ou também θ = 210°, lembre-se que a tangente é positiva no 1° e 3° quadrantes do ciclo trigonométrico.  Vamos iniciar com estes dois valores.  Vamos converter estes ângulos para radianos: θ = 30° = π/6 rad θ = 210°= 7π/6 rad Finalmente, podemos encontrar x. θ = x/2 x = 2θ x = 2.π/6   ou    x = 2.7π/6 x = π/3       ou    x = 7π/3 Note que estes dois valores estão no intervalo x ∈ [0, 4π]. Alternativa ...

(ESA 2022) Identifique o ângulo X, em radianos, do intervalo [0 , 2𝜋] cujo sen X é igual ao sen 2X. a) π/9 rad  b) π/4 rad  c) π/6 rad  d) π/2 rad  e) π/3 rad Solução: questão de matemática da ESA (Escola de Sargentos das Armas) do Concurso de Admissão 2021 aos Cursos de Formação e Graduação de Sargentos 2022 – 23 . Prova aplicada no dia 03/10/2021. Para resolver essa equação trigonométrica, vamos usar identidades trigonométricas: sen 2X = 2 . sen X . cos X Vamos para a equação trigonométrica: sen X = sen 2X sen X - sen 2X = 0 sen X  -  2 . sen X . cos X = 0 sen X . ( 1 - 2 . cos X) = 0  De modo que  sen X = 0 ou 1 - 2 . cos X = 0 No intervalo  [0 , 2𝜋] o sen X = 0  quando X = 0, 𝜋 ou 2𝜋 rad.  Nenhum deles está nas alternativas de resposta.   Agora, vamos trabalhar em 1 - 2 . cos X = 0 2 . cos X = 1 cos X = 1/2 Qual é o ângulo X que neste intervalo possui cosseno igual a 1/2? E...

(Professor Docente I - Matemática - 2015 - Banca CEPERJ)  Resolvendo corretamente a equação trigonométrica 2 sen(2x) = sen (x), x ∈ [0, 2π], determina-se o conjunto solução com exatamente t elementos.  O valor de t é igual a: a) 1  b) 2  c) 3  d) 4  e)  5 Solução:     questão do concurso para professor de matemática da Secretaria de Educação do Rio de Janeiro.  Banca organizadora CEPERJ, 2015. Na equação trigonométrica: 2 sen(2x) = sen (x) Vamos substituir sen(2x) por 2sen(x).cos(x) 2 . 2sen(x)cos(x) = sen(x) 4 sen(x)cos(x) - sen(x) = 0 sen(x) [4cos(x) - 1] = 0 sen(x) = 0  ou  4 cos(x) - 1 = 0 Nesta questão sobre equações trigonométricas , temos que atentar para o fato do ângulo x estar limitado no intervalo  [0, 2π]. Neste intervalo, existem 3 ângulos que satisfazem sen(x) = 0 . Vamos esboçar o ciclo trigonométrico. Os ângulos x= 0, π e 2π satisfazem a equação trigonométrica, vejamos: x = 0  ;  ...

(CEDERJ 2020.1)  O menor número real positivo que satisfaz a equação 2cosx - 1 = 0 é: a) π/6 b) π/4 c) π/3 d) π/2 Solução:    questão bem direta, basta resolver a equação trigonométrica. 2cos x - 1 = 0 2cos x = 1 cos x = 1/2 x = 60º  Podemos converter 60º em radianos fazendo uma regra de três simples. 180º  -->  π 60º   -->  x 180 x = 60 π x = π / 3 Alternativa correta é a letra C Um forte abraço e bons estudos.

Olá caro estudante, Elaborei uma lista com questões de matemática sobre trigonometria tanto no Triângulo Retângulo, quanto Ciclo Trigonométrico para você que está se preparando para o ENEM ou concursos deste ano.  Uma das melhores dicas de estudos é você se acostumar com o método de cobrança da banca examinadora  e isto serve para candidatos que vão fazer concursos públicos, vestibulares, ENEM, concursos em carreiras militares, etc. Quanto mais exercícios resolvidos você resolver em matemática daquela banca, baixando as provas anteriores, então maiores serão suas chances de estar acostumado com o método, direcionar adequadamente seus estudos e obter uma boa nota. Confira a seguir uma lista com exercícios resolvidos sobre trigonometria: funções trigonométricas, identidades trigonométricas, equações trigonométricas, funções trigonométricas inversas etc.  Recomendo que você tire um tempo, resolva todos eles e depois confira o gabarito e a resolução.  Desejo s...

EsPCEx 2018 - O número de raízes reais da equação 2 cos²x + 3 cosx + 1 = 0 no intervalo ]0,2π[ é: a) 0  b) 1  c) 2  d) 3  e) 4 Solução: questão de matemática da EsPCEx (Escola Preparatória de Cadetes do Exército).  Para resolvê-la, vamos primeiramente substituir  cos x  por y  para facilitar nossos cálculos.  Fazendo isso, teremos a equação do segundo grau   2y² + 3y + 1 = 0 que pode ser resolvida pela fórmula de Bhaskara. y = (-b ± √Δ) / 2a   e    Δ = b² - 4ac Resolvendo essa equação do segundo grau: Δ = b² - 4ac = 3² - 4(2)(1) = 9 - 8 = 1 √Δ = 1 y = (-3 ± 1) / (2 . 2) = (-3±1)/4 y1 = (-3 +1)/4 = -2/4 =  -1/2 y2 = (-3-1)/4 = -4/4 =  -1 Agora, temos que igualar cos x aos dois valores de y encontrados. cos x = y1 cos x = -1/2 cos x = y2 cos x = -1 O enunciado nos informou que o intervalo está limitado entre 0 e 2π (sem incluí-los), ou seja, estamos limitados a uma vo...