(ESA 2022) Identifique o ângulo X, em radianos, do intervalo [0 , 2𝜋] cujo sen X é igual ao sen 2X.
(ESA 2022) Identifique o ângulo X, em radianos, do intervalo [0 , 2𝜋] cujo sen X é igual ao sen 2X.
a) π/9 rad b) π/4 rad c) π/6 rad d) π/2 rad e) π/3 rad
Solução: questão de matemática da ESA (Escola de Sargentos das Armas) do Concurso de Admissão 2021 aos Cursos de Formação e Graduação de Sargentos 2022 – 23 . Prova aplicada no dia 03/10/2021.
Para resolver essa equação trigonométrica, vamos usar identidades trigonométricas:
sen 2X = 2 . sen X . cos X
Vamos para a equação trigonométrica:
sen X = sen 2X
sen X - sen 2X = 0
sen X - 2 . sen X . cos X = 0
sen X . ( 1 - 2 . cos X) = 0
De modo que
sen X = 0 ou 1 - 2 . cos X = 0
No intervalo [0 , 2𝜋] o sen X = 0 quando X = 0, 𝜋 ou 2𝜋 rad. Nenhum deles está nas alternativas de resposta.
Agora, vamos trabalhar em
1 - 2 . cos X = 0
2 . cos X = 1
cos X = 1/2
Qual é o ângulo X que neste intervalo possui cosseno igual a 1/2?
Existem dois ângulos, sabemos que o cosseno é positivo no 1º e 4° quadrante do ciclo trigonométrico, sabemos também que cos 60° é igual a 1/2. Além disso, no quarto quadrante, existe um ângulo α com o mesmo cosseno de 60°, podemos encontrá-lo fazendo a redução ao primeiro quadrante.
360° - α = 60°
α = 360° - 60°
α = 300°
Ou seja, cos 60° = cos 300° = 1/2
Concluimos então que no intervalo [0 , 2𝜋] o cos X = 1/2 quando X = 60° ou X = 300°. Vamos converter esses ângulos para radianos, utilizando uma regra de três simples, vamos iniciar convertendo 60° para radianos.
Sabemos que
π rad → 180°
X rad → 60°
60π = 180X
X = 60π / 180
X = π / 3 rad
Alternativa correta é a letra e).
Obs: não foi necessário converter 300° para radianos, pois as alternativas de resposta consideraram apenas um único ângulo, no caso o 60° (em radianos, π/3) . Note que 300° é igual a 5 . 60° de modo que sua conversão resultaria em 5𝜋/3 rad, opção que não está disponível nas alternativas de resposta.
Obs2: Os ângulos, em radianos, do intervalo [0 , 2𝜋] que satisfazem a equação sen X = sen 2X são:
- 0 , 𝜋/3, 𝜋, 5𝜋/3 e 2𝜋.
Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da ESA.
Um forte abraço e bons estudos.
