(ESA 2022) Identifique o ângulo X, em radianos, do intervalo [0 , 2𝜋] cujo sen X é igual ao sen 2X.

a) π/9 rad  b) π/4 rad  c) π/6 rad  d) π/2 rad  e) π/3 rad

Solução: questão de matemática da ESA (Escola de Sargentos das Armas) do Concurso de Admissão 2021 aos Cursos de Formação e Graduação de Sargentos 2022 – 23 . Prova aplicada no dia 03/10/2021.

Para resolver essa equação trigonométrica, vamos usar identidades trigonométricas:

sen 2X = 2 . sen X . cos X

Vamos para a equação trigonométrica:

sen X = sen 2X
sen X - sen 2X = 0
sen X  -  2 . sen X . cos X = 0
sen X . ( 1 - 2 . cos X) = 0 

De modo que 

sen X = 0 ou 1 - 2 . cos X = 0

No intervalo  [0 , 2𝜋] o sen X = 0  quando X = 0, 𝜋 ou 2𝜋 rad.  Nenhum deles está nas alternativas de resposta.  

Agora, vamos trabalhar em

1 - 2 . cos X = 0
2 . cos X = 1
cos X = 1/2

Qual é o ângulo X que neste intervalo possui cosseno igual a 1/2?

Existem dois ângulos, sabemos que o cosseno é positivo no 1º e 4° quadrante do ciclo trigonométrico, sabemos também que cos 60° é igual a 1/2.   Além disso, no quarto quadrante, existe um ângulo α com o mesmo cosseno de 60°, podemos encontrá-lo fazendo a redução ao primeiro quadrante.

360° - α = 60°
α = 360° - 60°
α = 300°

Ou seja, cos 60° = cos 300° = 1/2


Concluimos então que no intervalo [0 , 2𝜋] o cos X = 1/2  quando X = 60° ou X = 300°.  Vamos converter esses ângulos para radianos, utilizando uma regra de três simples, vamos iniciar convertendo 60° para radianos.

Sabemos que 

π rad → 180°
X rad → 60°

60π = 180X
X = 60π / 180
X = π / 3 rad
 
Alternativa correta é a letra e).

Obs:  não foi necessário converter 300° para radianos, pois as alternativas de resposta consideraram apenas um único ângulo, no caso o 60°  (em radianos, π/3)  .  Note que 300° é igual a 5 . 60° de modo que sua conversão resultaria em 5𝜋/3 rad, opção que não está disponível nas alternativas de resposta.

Obs2: Os ângulos, em radianos, do intervalo [0 , 2𝜋] que satisfazem a equação  sen X = sen 2X são:  

  • 0 , 𝜋/3,  𝜋,  5𝜋/3 e  2𝜋.

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da ESA.

Um forte abraço e bons estudos.