(UERJ 2026) Questão de Matemática sobre o círculo trigonométrico. Confira a seguir o enunciado e a resolução passo a passo dessa questão de trigonometria da UERJ.

(UECE 2024.2)  Os valores de x entre 0 e 2π que satisfazem a igualdade sen2x = senx são a) π/3, 2π/3, 4π/3. b) π/4, 2π/3, 4π/5. c) π/3, π, 5π/3. d) π/5, 2π/3, 4π/7. Solução:  questão de matemática do Vestibular da Universidade Estadual do Ceará (UECE) 2024.2,  prova de conhecimentos gerais da 1ª Fase, aplicada em 28/04/2024. sen2x = senx sen2x - senx = 0 Para resolver essa equação trigonométrica, vamos substituir sen2x por 2·senx·cosx 2·senx·cosx - senx = 0 Colocar senx em evidência senx(2cosx - 1) = 0 senx = 0 ou 2cosx - 1 = 0 Agora, vamos trabalhar nessas equações separadamente: senx = 0 Entre 0 e 2π, o  senx vale zero quando x =  π 2cosx - 1 = 0 2cosx = 1 cosx = 1/2 Entre 0 e 2π, o cosx vale 1/2 em duas ocasiões, são elas: > no primeiro quadrante, quando x = 60°, cujo valor em radianos é  x = π/3 > no quarto quadrante, quando x = 2π - π/3 = 5π/3 Podemos concluir que  os valores de x entre 0 e 2π que satis...

(EEAR CFS 1/2025)  Se x é um ângulo agudo tal que tg x = 4/3, então o valor de sen x + cos x é _____. a) 3/4 b) 7/5 c) 9/7 d) 11/25 Solução:  questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas de Aeronáutica) do Exame de Admissão ao Curso de Formação de Sargentos da Aeronáutica CFS 1/2025 .  Prova aplicada em 14/07/2024. Para obter os valores de sen x e cos x, vamos fazer um esboço de x e tg x no ciclo trigonométrico. O enunciado informa que x é um ângulo agudo, ou seja, maior do que 0° e menor do que 90°.  Portanto, vamos escrever o ângulo x no primeiro quadrante. Podemos notar que os triângulos retângulos OAB e OCD são semelhantes.  A seguir, vamos criar um outro triângulo retângulo semelhante a estes, que é o triângulo OEF.  Este triângulo será construído multiplicando por 3 tanto OC quanto CD, note que assim OEF é um triangulo retângulo com catetos que medem 3 e 4 e a hipotenusa OF mede 5. Ag...

(CEDERJ 2024.1)  Considere que tg(x) = 1/2, π < x < (3π/2). Nas condições acima, cos(x) + sen(x) é igual a: a) 2√5         5 b)  √5        5 c) -  √5          5 d) -  3√5            5 Solução:  questão de matemática do Vestibular CEDERJ 2024.1,  prova aplicada em 17/12/2023. O ângulo x pertence ao 3º quadrante do ciclo trigonométrico.  Logo,  sen x é negativo; cos x é negativo. A soma cos(x) + sen(x) também será um valor negativo.  Essa breve análise, já nos permite eliminar as alternativas (a) e (b).  A seguir, vamos encontrar o valor dessa soma: tg(x) = 1/2 sen(x)/cos(x) = 1/2 2sen(x) = cos(x) Agora, vamos utilizar a relação fundamental da trigonometria (também conhecida como identidade trigonométrica fundamental). sen²(x) + cos²(x) = 1 Vamos substituir cos(x) por 2sen(x). sen²(x) + [2sen(x)] 2  = 1 sen²(x) + 4sen²(x) = 1 ...

(EEAR CFS 1/2024)  Se 2π rad ≤ x ≤ 4π rad e se sen x = √3/2 , então os possíveis valores de x somam ______π rad.  a) 3 b) 5 c) 3/2 d) 5/2 Solução:  questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao Curso de Formação de Sargentos da Aeronáutica CFS 1/2024 . Prova aplicada no dia 04/06/2023. O enunciado estabelece que sen x = √3/2 , note que é um valor positivo, sabemos que o sen x é positivo no primeiro e no segundo quadrante do ciclo trigonométrico. Sabemos também que quando x = 60° , o seno de 60° = √3/2 * Caso necessário, você pode fazer uma revisão da tabela trigonométrica com ângulos notáveis entrando por aqui . Sabemos que também existe um ângulo α no segundo quadrante, cujo seno dele é igual a √3/2 ,  este ângulo é o 120°, pois ao realizarmos a redução de α para o primeiro quadrante, temos que 180° - α = 60° α = 180° - 60° α = 120° Ou seja, sen (60°) = sen (120°) = √3/2 Convertendo os ângulos 60° e 120° par...

(UERJ 2023)  Observe o ângulo central α do círculo trigonométrico a seguir: Admitindo que 0 ≤  α < π/2 e cos α = 4/5, o valor de sen (2π - α) é igual a: a) 3/5  b) 1/2  c) -3/5  d) -1/2 Solução:  questão de matemática do  Vestibular UERJ 2023,  prova do dia 04/12/2022. Note que α é um ângulo do primeiro quadrante, logo seu seno é positivo. Já o ângulo (2π - α) é do quarto quadrante, logo seu seno é negativo. ** Até aqui, só com estas informações, já podemos eliminar as alternativas (a) e (b). Da disciplina redução ao primeiro quadrante no ciclo trigonométrico, sabemos que sen (2π - α) = - sen(α) Então, o que vamos fazer é primeiro obter o sen(α), depois multiplicaremos o valor encontrado por -1 e teremos finalmente o sen (2π - α). O enunciado nos informa que cos (α) = 4/5. Da disciplina identidades trigonométricas, sabemos que sen²(α) + cos² (α) = 1 Vamos aplicar o valor de cos (α) = 4/5 nesta equação. sen²(α) + (4/5)² = 1 sen²(α) + 16/25 =...

( UNICAMP 2023 )  A seguir, são apresentadas quatro funções, definidas para x ∈ ℝ ; são também apresentados quatro esboços de gráficos. Funções: Gráficos: A opção que descreve corretamente a correspondência entre as funções e seus gráficos é:  a) (i) e g(x); (ii) e h(x); (iii) e p(x); (iv) e f(x). b) (i) e h(x); (ii) e g(x); (iii) e f(x); (iv) e p(x). c) (i) e p(x); (ii) e h(x); (iii) e g(x); (iv) e f(x). d) (i) e f(x); (ii) e g(x); (iii) e p(x); (iv) e h(x). Solução:  questão de matemática do Vestibular UNICAMP 2023. Prova aplicada no dia 06/11/2022. Podemos notar que os quatro gráficos "tocam" o eixo y em alturas sempre diferentes.  Sendo assim, vamos adotar como estratégia calcular o valor de f(0), g(0), h(0) e p(0).  Uma vez encontrados estes valores, vamos poder identificar os gráficos corretos.  >>  Calculando f(0) f(0) = sen (0) + π/4 f(0) = 0 + π/4 f(0) = π/4   Sabemos que π/4  é um valor compreendido ent...

(EEAR CFS 1/2023) Do arco x sabe-se que sen x . cos x = -1/4. Então, o valor de tg x + cotg x é _____ e a extremidade desse arco x pode estar no _____ quadrante.  a) -4; 1º b) -4; 2º c) -2; 3º d) -2; 4º Solução:  questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 1/2023. Prova aplicada no dia 05/06/2022. Uma questão muito interessante de trigonometria, sabemos que  -1 ≤ sen x ≤ 1 -1 ≤ cos x ≤ 1 Os valores de seno e cosseno de x estão limitados entre -1 e 1, ou seja, eles podem ser tanto positivos quanto negativos.  Além disso, o enunciado informa que  sen x . cos x = -1/4   Note que o produto entre o seno e o cosseno de x dá um número negativo, então nem o sen x, nem o cos x valem 0.  Além disso, obrigatoriamente os sinais de sen x e cos x têm que ser diferentes, por exemplo, se o sen x é negativo, então o cos x terá que ser positivo, pois um produto (negativo) x (positivo) ...

(Professor Docente I - Matemática - 2014 - Banca CEPERJ)  O domínio da função real é:  a) ℝ - {π/2  + kπ;  k é um número inteiro} b) ℝ - {π/3  + kπ;  k é um número inteiro} c) ℝ - {π  + kπ;  k é um número inteiro} d) ℝ - { kπ;  k é um número inteiro} e) ℝ - {2kπ;  k é um número inteiro} Solução:  questão do concurso para professor de matemática da Secretaria de Educação do Rio de Janeiro.  Banca organizadora CEPERJ, 2014. No denominador dessa função, não podemos ter o (sen²x -1) valendo 0.  Isto quer dizer que  sen²x -1 ≠ 0 sen²x ≠ 1 sen x ≠  ± √1 sen x ≠  ± 1   Chegamos a conclusão de que o seno de x não poderá valer +1 e nem -1.  Isto quer dizer que x ≠ π/2 + kπ;  sendo k um número inteiro Perceba que quando x = π/2; então sen(π/2) = +1 x = 3π/2; então sen(3π/2) = -1 Note que iniciando em π/2, e a cada kπ, o valor de x estará sempre proporcionando sen x = +1...

(UECE 2022.1)  Considere as funções reais de variável real definidas por f(x) = sen(1+ x/2)π e g(x) = sen(1– x/2)π. Se K=f(9).g(9), então, pode-se afirmar corretamente que o valor de K é igual a A) 1. B) –1. C) 0. D) –2. Solução:  questão de matemática do Vestibular da Universidade Estadual do Ceará (UECE) 2022.1,  prova de conhecimentos gerais da 1ª Fase, aplicada no dia 15/11/2021. Vamos calcular separadamente f(9) e g(9) >>> Cálculo de f(9) f(9) = sen [(1+ 9/2)π] f(9) = sen [(2/2+ 9/2)π] f(9) = sen [(11/2)π] Sabemos que  (11/2)π = (4/2)π + (4/2)π + (3/2)π (11/2)π =  2π  +  2π  +  (3/2)π                 2 voltas completas mais  (3/2)π Note que o ângulo de (11/2)π representa duas voltas completas de 2π no ciclo trigonométrico, mais um  de (3/2)π.  Isto quer dizer que o sen [(11/2)π] = sen [(3/2)π] f(9) = sen [(11/2)π] = sen [(3/2)π] = sen (270°) = -1 >>> Cá...

(FAMERP 2020)  A figura indica os gráficos de uma reta r e uma senoide s, de equações y=5/2 e y = 1 + 3 sen (2x), em um plano cartesiano de eixos ortogonais. Sendo P um ponto de intersecção dos gráficos, conforme mostra a figura, sua abscissa, convertida para graus, é igual a  (A) 275º (B) 240º (C) 225º (D) 210º (E) 195º Solução:  questão de matemática da FAMERP 2020,   prova aplicada no dia 09/12/2019. Mais uma questão bem interessante do Vestibular da FAMERP que envolve função do primeiro grau e função trigonométrica. Repare que as funções r e s se encontram várias vezes no plano, o que nos interessa é o ponto P que é o terceiro encontro dessas funções a partir do ângulo (x=0°).  Vamos igualar as duas funções para encontrar este ponto: 1 + 3 sen (2x) = 5/2 Vamos substituir 2x = θ e isto simplificará o nosso trabalho. 1 + 3 sen (θ) = 5/2 3 sen (θ) = 5/2 - 1 3 sen (θ) = 3/2 sen (θ) = 1/2 Quando o seno de θ valerá 1/2?  A partir do ângu...

(EEAR CFS 2/2022) O valor numérico de sen (-1650°) + cos (35π/3) é a) 0 b) 1 c) √3 d) √3+1           2 Solução:  questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 2/2022. Prova aplicada no dia 14/11/2021. >> Calculando sen (-1650°) Dividimos -1650° por -360° e teremos como quociente 4 e resto -210°.  Logo, -1650° = 4 x (-360°) + (-210°)  ** ou seja, são 4 voltas no sentido horário e mais um ângulo de -210° que é o mesmo que um ângulo de 150°.  Sendo assim: sen (-1650°) = sen (-210°) = sen (150°) = sen (30°) = 1/2 >> Calculando cos (35π/3) 35π/3 = 35 . 180°/3 = 35 . 60°  = 2100° Divindido 2100 por 360° temos quociente igual a 5 e resto igual a 300°. 2100° = 5 x (360°) + 300°    cos (35π/3) = cos (2100°) = cos (300°) = cos (60°) = 1/2 Finalmente, o valor numérico de sen (-1650°) + cos (35π/3) é igual a (1/2) + (1/2) = 1.   Alternativa correta é...

(ESA 2022) Identifique o ângulo X, em radianos, do intervalo [0 , 2𝜋] cujo sen X é igual ao sen 2X. a) π/9 rad  b) π/4 rad  c) π/6 rad  d) π/2 rad  e) π/3 rad Solução: questão de matemática da ESA (Escola de Sargentos das Armas) do Concurso de Admissão 2021 aos Cursos de Formação e Graduação de Sargentos 2022 – 23 . Prova aplicada no dia 03/10/2021. Para resolver essa equação trigonométrica, vamos usar identidades trigonométricas: sen 2X = 2 . sen X . cos X Vamos para a equação trigonométrica: sen X = sen 2X sen X - sen 2X = 0 sen X  -  2 . sen X . cos X = 0 sen X . ( 1 - 2 . cos X) = 0  De modo que  sen X = 0 ou 1 - 2 . cos X = 0 No intervalo  [0 , 2𝜋] o sen X = 0  quando X = 0, 𝜋 ou 2𝜋 rad.  Nenhum deles está nas alternativas de resposta.   Agora, vamos trabalhar em 1 - 2 . cos X = 0 2 . cos X = 1 cos X = 1/2 Qual é o ângulo X que neste intervalo possui cosseno igual a 1/2? E...

(EEAR CFS 1/2021) O ângulo cuja medida é 37π/4  rad pertence ao _____ quadrante.  a) 1º b) 2º c) 3º d) 4º Solução: questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 1/2021. Prova aplicada no dia 13/09/2020. Existem diferentes caminhos para resolver essa questão, vamos adotar como estratégia simplificar o ângulo 37π/4  rad. 37π/4 = (36π + π) / 4 = 36π/4 + π/4 = 9π + π/4 = 8π + π + π/4 Perceba que 8π equivalem a 4 voltas de 2π e terminamos exatamente sobre a origem do ciclo trigonométrico.   Ainda temos π + π/4.  Sabemos que π = 180° e π/4 = 180°/4 = 45°.  Logo π + π/4 = 180° + 45° = 225° ,  ângulo este, que no ciclo trigonométrico está no 3° quadrante.   Alternativa correta é a letra c). Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EEAR. Um forte abraço e bons estudos.

(EEAR CFS 2/2021)  O valor da tg 1665º é:  a) 0 b) 1 c) √3 d) -√3 Solução: questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 2/2021. Prova aplicada no dia 22/11/2020. Para calcular a tangente de 1665º, vamos dividir 1665° por 360°, teremos como resultado quociente igual a 4 e resto igual a 225°.  Ou seja,  1665° = 4 x 360° + 225° Sendo assim, sabemos que tg (1665°) = tg (225°) Sabemos que 225° é do 3° quadrante, logo tg (225°) = tg (225° - 180°) tg (225°) = tg (45°) Finalmente, temos que  tg (1665°) = tg (225°) = tg (45°) = 1.   Alternativa correta é a letra b). Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EEAR. Um forte abraço e bons estudos.

(EEAR CFS 1/2022) Sejam os arcos de 480° e −4π/3 rad. No ciclo trigonométrico, esses arcos são tais que ambos estão no  a) 1º quadrante e são côngruos. b) 2º quadrante e são côngruos. c) 1º quadrante e não são côngruos. d) 2º quadrante e não são côngruos. Solução: questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 1/2022. Prova aplicada no dia 30/05/2021. Nesta questão, utilizaremos conceitos da trigonometria dentro de um ciclo trigonométrico. Em primeiro lugar, vamos converter o ângulo −4π/3 rad para graus. -4 . 180°/3 -4. 60° - 240° Agora, vamos dividir o ângulo 480° por 360°, encontraremos como resultado quociente igual a 1 e resto igual a 120°. 480° = 1 x 360° + 120° Ou seja, o 480° dá uma volta completa no ciclo e depois termina sobre o ângulo de 120°.  Os arcos 480° e 120° são côngruos. Atenção: no ciclo trigonométrico, os ângulos positivos giram no sentido anti-horário. Já os ângulos negativos, giram no sentido ...

(EEAR CFS 1/2022) Se sen 2x = 1/3 então (sec x) : (sen x) é igual a a) 8 b) 6 c) 4 d) 2 Solução: questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 1/2022. Prova aplicada no dia 30/05/2021. Nesta questão sobre identidades trigonométricas, precisamos saber que: sen2x = 2 . senx . cosx secx = 1/cosx Do enunciado:    sen 2x = 1/3 2 . senx . cosx = 1/3 senx . cosx = 1/6 O objetivo é calcular: (sec x) / (sen x) (1/cosx) / (sen x) 1 / (cosx . senx) 1 / (1/6) 6   Alternativa correta é a letra b). Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EEAR. Um forte abraço e bons estudos.

(Escola de Aprendizes-Marinheiros 2021) Determine o cosseno de 1935 º e marque a opção correta. a) (√2)/2   b) 1   c) 1/2   d) -1/2   e) (-√2)/2 Solução: nesta questão de trigonometria, precisamos utilizar algumas noções do ciclo trigonométrico. Inicialmente, vamos dividir 1935º por 360º.  Após efetuarmos essa divisão, teremos: 1935º = 5 x 360° + 135º Até aqui, sabemos que cosseno 1935° = cosseno 135º .  Repare no ciclo trigonométrico a seguir que cosseno 135° = -  cosseno 45°. Finalmente, cosseno 1935° = cosseno 135° = - cosseno 45° = (-√2)/2. Alternativa correta é a letra e). Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática do concurso de admissão às Escolas de Aprendizes-Marinheiros . Um forte abraço e bons estudos.

(CEDERJ 2021.2) Estudando para uma prova de trigonometria, Júlia aprendeu que sen² 72° é igual a (A) 1 – cos² 72°.  (B) cos² 72° – 1.  (C) tg² 72° – 1.  (D) 1 – tg² 72º. Solução: questão de matemática do Vestibular CEDERJ 2021.2 onde utilizaremos identidades trigonométricas.  Sabemos que:  sen²x + cos²x = 1 (isolando sen²x temos) sen²x = 1 - cos²x Repare que o ângulo x pode ser qualquer um, incluindo o 72°, então podemos trocar x por 72°. sen² 72° = 1 - cos² 72°  Alternativa correta é a letra a). Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática do CEDERJ . Um forte abraço e bons estudos.

(Professor de Educação Básica II - Matemática - Prefeitura de Vinhedo SP - Banca: IBFC - 2019)   Duas funções trigonométricas, f(x) = sen x e g(x) = cos (x + a), tem como domínio os números reais. Considerando que x está em radianos em ambas as funções, assinale a alternativa que indica o correto valor de a para que f(x) = - g(x).  a) a = π/3 b) a = π/2 c) a = π/4 d) a = π Solução: antes de resolvermos essa questão sobre funções trigonométricas, vamos esboçar o gráfico das funções sen(x) e cos(x) no intervalo [0,2π] para facilitar a visualização do problema: O objetivo da questão é encontrar a de modo que quando f(x) esteja, por exemplo, na altura +1, então o valor de g(x) estará na altura -1.  Basta fazer o seguinte: f(π/2) = +1 g(π/2) = cos ( π/2 + a) =  -1 Sabemos também que cos ( π ) = -1 cos ( π/2 + a  ) =  cos ( π ) = -1 π/2 + a = π a = π/2 Alternativa correta é a letra b). Aproveite e continue praticando com uma lista de exercícios re...