(EEAR CFS 1/2023) Do arco x sabe-se que sen x . cos x = -1/4. Então, o valor de tg x + cotg x é _____ e a extremidade desse arco x pode estar no _____ quadrante. 

a) -4; 1º
b) -4; 2º
c) -2; 3º
d) -2; 4º


Solução: questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 1/2023. Prova aplicada no dia 05/06/2022.

Uma questão muito interessante de trigonometria, sabemos que 

-1 ≤ sen x ≤ 1
-1 ≤ cos x ≤ 1

Os valores de seno e cosseno de x estão limitados entre -1 e 1, ou seja, eles podem ser tanto positivos quanto negativos.  Além disso, o enunciado informa que 

sen x . cos x = -1/4  

Note que o produto entre o seno e o cosseno de x dá um número negativo, então nem o sen x, nem o cos x valem 0.  Além disso, obrigatoriamente os sinais de sen x e cos x têm que ser diferentes, por exemplo, se o sen x é negativo, então o cos x terá que ser positivo, pois um produto (negativo) x (positivo) dá negativo.  Se o sen x é positivo, então o cos x terá que ser negativo.  Vamos analisar os quadrantes para verificar em quais deles o produto (senx.cosx) dá negativo.


Note que o produto (sen x) . (cos x) resultará em um número negativo no segundo quadrante, pois sen x é positivo e cos x é negativo.  E também no quarto quadrante, pois sen x é negativo e cos x é positivo.

Agora, vamos obter o valor de

tg x + cotg x
(sen x/cos x) + (cos x/sen x)
(sen² x + cos² x) / (sen x . cos x)

sen x . cos x = -1/4
Das identidades trigonométricas, sabemos que sen² x + cos² x = 1. 

(1) / (-1/4)
1 . (4/-1)
-4

Respondendo:  o valor de tg x + cotg x é  -4 e a extremidade desse arco x pode estar no segundo quadrante. 

Alternativa correta é a letra b).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EEAR. 

Um forte abraço e bons estudos.