(CEDERJ 2024.1) Considere que tg(x) = 1/2, π < x < (3π/2). Nas condições acima, cos(x) + sen(x) é igual a:

a) 2√5
        5
b) √5
       5
c) - √5
         5
d) - 3√5
           5

Solução: questão de matemática do Vestibular CEDERJ 2024.1,  prova aplicada em 17/12/2023.

O ângulo x pertence ao 3º quadrante do ciclo trigonométrico.  Logo, 

  • sen x é negativo;
  • cos x é negativo.
A soma cos(x) + sen(x) também será um valor negativo.  Essa breve análise, já nos permite eliminar as alternativas (a) e (b).  A seguir, vamos encontrar o valor dessa soma:

tg(x) = 1/2

sen(x)/cos(x) = 1/2
2sen(x) = cos(x)

Agora, vamos utilizar a relação fundamental da trigonometria (também conhecida como identidade trigonométrica fundamental).

sen²(x) + cos²(x) = 1

Vamos substituir cos(x) por 2sen(x).

sen²(x) + [2sen(x)]2 = 1
sen²(x) + 4sen²(x) = 1
5sen²(x) = 1
sen²(x) = 1/5
sen (x) = ± √1/5

No terceiro quadrante, sen (x) é negativo, logo

sen (x) = -√1/5

Voltamos com este valor em

2sen(x) = cos(x)
2 (-√1/5) = cos(x)
cos(x) = -2√1/5

Finalmente, temos que

cos(x) + sen(x)

-2√1/5 + (-√1/5)
-2√1/5  - √1/5
-3√1/5
-3·  1  
      √5
Vamos multiplicar essa fração por √5/√5
-3·  1  ·  √5 
      √5     √5
-3√5
   5    

Alternativa correta é a letra d).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática do CEDERJ.

Um forte abraço e bons estudos.